Limites, comparaison de fonction et continuité

a=+∞
lim f(x)=+∞ si à partir d'un certain rang f(x)>A
lim f(x)=-∞ si à partir d'un certain rang f(x)<A
lim f(x)=l si à partir d'un certain rang,∀ε>0, |f(x)-l|<ε
a∈R
lim f(x)=+∞ si au voisinage de a f(x)>A
lim f(x)=-∞ si au voisinage de a f(x)<A
lim f(x)=l si au voisinage de a,∀ε>0, |f(x)-l|<ε

Si a∈D
lim f(x) existe ssi lim(a-)f(x)=lim(a+)f(x)=f(a)
Si a∉D
lim f(x) existe ssi lim(a-)f(x)=lim(a+)f(x)

Si f admet une limite en a, alors celle-ci est unique
Si f admet une limite finie en a, alors elle est bornée au voisinage de a
si lim f(x)=l alors ∀x∀suite(Un) qui tend vers a, (f(Un)) tend vers l

f définie sur ]a,b[
si f est croissante:
-si f est majorée, elle admet une limite finie en b
sinon, f tend vers +∞ en b
- si f est minorée, elle admet une limite finie en a
sinon, f tend vers -∞ en a

1) f est négligeable devant g en a si lim f(x)/ g(x)=0
2) f est dominée par g en a si f est bornée
3) f est équivalent à g en a si lim f(x)/ g(x)=1

Les mêmes que pour les suites, pareil pour la conservation du signe et de la limite

sin(x)~x
tan(x)~x
cos(x)-1~-1/2x²
(1+x)^α-1~αx
e^x-1~x
ln(1+x)~x

Poser x=a+h
ex: ln(x) en 1, x=1+h
ln(x)=ln(1+h)=ln(1+x-1) or x-1->0
donc ln(x)~x-1 en 1

Un fonction est dite continue si lim en a de f(x) = f(a)
Elle peux être continue à gauche pour a- et à droite pour a+ si lim en a = f(a)

Une fonction est prolongeable par continuité si elle admet une limite en a et que c'est un réel

Somme, produit (fonction continue ou constante), quotient (si l'une des fonction est non nulle), les fonctions restent continues après les opérations

Une fonction est continue sur l'intervalle I si elle est continue en tout point a de I

Polynôme(R, R, R)
Cos, sin (R, R, R)
Tan (R/{π/2+kπ,kEZ}, same, same)
Ln(x) (R*+, R*+, R*+)
Exp(x) (R, R, R)
|x| (R, R, R*)
⌊x⌋ (R, R/Z, R/Z)
Arcsin ([-1,1], [-1,1],]-1,1[)
Arccos ([-1,1], [-1,1],]-1,1[)
Arctan (R, R, R)
1/x (R*, R*, R*)
√x (R+, R+, R*+)

Les sommes, produits et quotients de fonctions continues restent continues

Théorème des valeurs intermédiaires : soit [a,b] un intervalle, toutes valeurs entre f(a) et f(b) ont une solution f(a)>f(b), si cE[f(b);f(a)], il existe x0E[a,b] tel que f(x0)=c (il sert à montrer que f(x0)=c admet une solution)

Théorème des bornes atteintes: soit f continue sur [a,b], f atteint ses bornes si elle est bornée et mieux admet un max et un min

Théorème de la bijection: Soit f continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f réalise une bijection de I vers son image J=f(I)