Dérivées partielles et ses applications

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$

Pour x,y,z les variables du plan et $x_0,y_0,z_0$ les valeurs du points dont on veut évaluer le plan tangent:

$z-z_0=f_x(x_0,y_0)\cdot (x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)$

Pour un point a,b dont on a calculé le plan tangent, on peut estimer un autre valeur de fonction évalué à x,y à partir de la formule suivante:

$f(x,y)\approx f(a,b) + f_x(a,b)\cdot (x-a) + f_y(a,b)\cdot (y-b)$

$\Delta z = f(x,y) - f(a,b)$
$dz=f_x(a,b)dx + f_y(a,b)dy$ où dx=(x-a) et dy=(y-b)

dz est la même logique que $\frac{dy}{dx}=f'(x) ==> dy=f'(x)\cdot dx$

$\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial s} + \frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial s}$

$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}$

où F est la fonction que x et y sont isolés d'un coté et égal à 0

$\nabla f(x,y)=f_x(x,y)\vec i + f_y(x,y)\vec j$

$f_{\vec u}(x,y)=f_x(x,y)\cdot a + f_y(x,y)\cdot b$
$f_{\vec u}(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot \vec u$

où le vecteur UNITAIRE est désigné par $\vec u=a\vec i + b\vec j$