1Interpréter graphiquement $\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x) =\ell$
La droite d'équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$
2Interpréter graphiquement $\lim\limits_{x\to a} f(x) =\pm \infty$
La droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$
3$\lim\limits_{x\to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x}$
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x}=0$
4Comment étudier $\lim\limits_{x\to + \infty} \text{e}^{-2x}$?
On étudie d'abord $\lim\limits_{x\to + \infty} -2x $. On obtient $\lim\limits_{x\to + \infty} -2x=-\infty$
Puis on cite la limite de la fonction exponentielle : ici $\lim\limits_{x\to - \infty} \text{e}^x=0$
On conclut à l'aide du théorème sur les limites d'une fonction composée : $\lim\limits_{x\to + \infty} \text{e}^{-2x}=0$
5Solutions de l'équation différentielle $y'=ay+b$?
Il y a une infinité de solutions : les fonctions définies par $f(x)=C\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$, avec C réel
Si l'énoncé donne une condition initiale (comme $f(0)$), on peut alors déterminer la valeur de C
6Déterminer $\lim\limits_{x\to + \infty} C\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$ avec $a<0$
$\lim\limits_{x\to + \infty} ax=-\infty$ car $a<0$
$\lim\limits_{x\to - \infty} \text{e}^x=0$
Donc par composition $\lim\limits_{x\to + \infty} C\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{b}{a}$
7Dérivée de $\text{e}^{u(x)}$
$u'(x) \times \text{e}^{u(x)}$
Prendre le temps de détailler le calcul de $u'(x)$
8Dérivée de $uv$
$u'v+uv'$
9Dérivée de $\text{e}^{-x}$
$-\text{e}^{-x}$
10Dérivée de $x\text{e}^x$
$1\times \text{e}^x+x\text{e}^x$
11Comment trouver un point d'inflexion à $\mathscr{C}_f$ ?
On chercher en quelles valeurs $f''$ s'annule en changeant de signe
12Soit D : $\begin{cases}
x=2t-1\\
y=-2t+3\\
z=-t+2
\end{cases}$
Donner les coordonnées d'un point et d'un vecteur directeur
$A(-1;3;2)$ et $\vec{u}(2;-2;-1)$
13Comment démontrer que deux droites de l'espace sont sécantes?
On note différemment les paramètres dans chaque équation (t et t') , on résout le système (3 équations 2 inconnues t et t') et on montre qu'il existe un seul couple (t,t') solution. On remplace t ou t' par la valeur trouvée pour obtenir les coordonnées du point d'intersection.
14Comment étudier la position relative de deux droites d et d'?
On regarde si d et d' sont parallèles (vecteurs directeurs colinéaires)
Sinon, on cherche si elles sont sécantes
Si elles ne sont ni parallèles ni sécantes alors elles ne sont pas coplanaires
15$A(8;-4;7)$ appartient-il à D : $\begin{cases}
x=2t-1\\
y=-2t+3\\
z=-t+2
\end{cases}$
On cherche s'il existe un réel $t$ tel que$\begin{cases}
8=2t-1\\
-4=-2t+3\\
7=-t+2
\end{cases}$
On obtient
$\begin{cases}
t=4,5\\
t=3,5\\
t=-5
\end{cases}$
$A \notin D$