Kit survie DS3

La droite d'équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$

La droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$

Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x}=0$

On étudie d'abord $\lim\limits_{x\to + \infty} -2x $. On obtient $\lim\limits_{x\to + \infty} -2x=-\infty$
Puis on cite la limite de la fonction exponentielle : ici $\lim\limits_{x\to - \infty} \text{e}^x=0$
On conclut à l'aide du théorème sur les limites d'une fonction composée : $\lim\limits_{x\to + \infty} \text{e}^{-2x}=0$

Il y a une infinité de solutions : les fonctions définies par $f(x)=C\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$, avec C réel
Si l'énoncé donne une condition initiale (comme $f(0)$), on peut alors déterminer la valeur de C

$\lim\limits_{x\to + \infty} ax=-\infty$ car $a<0$
$\lim\limits_{x\to - \infty} \text{e}^x=0$
Donc par composition $\lim\limits_{x\to + \infty} C\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{b}{a}$

$u'(x) \times \text{e}^{u(x)}$
Prendre le temps de détailler le calcul de $u'(x)$

$u'v+uv'$

$-\text{e}^{-x}$

$1\times \text{e}^x+x\text{e}^x$

On chercher en quelles valeurs $f''$ s'annule en changeant de signe

$A(-1;3;2)$ et $\vec{u}(2;-2;-1)$

On note différemment les paramètres dans chaque équation (t et t') , on résout le système (3 équations 2 inconnues t et t') et on montre qu'il existe un seul couple (t,t') solution. On remplace t ou t' par la valeur trouvée pour obtenir les coordonnées du point d'intersection.

On regarde si d et d' sont parallèles (vecteurs directeurs colinéaires)
Sinon, on cherche si elles sont sécantes
Si elles ne sont ni parallèles ni sécantes alors elles ne sont pas coplanaires

On cherche s'il existe un réel $t$ tel que$\begin{cases} 8=2t-1\\ -4=-2t+3\\ 7=-t+2 \end{cases}$
On obtient
$\begin{cases} t=4,5\\ t=3,5\\ t=-5 \end{cases}$
$A \notin D$