Définitions de logique et théorie des ensembles

$\text{Énoncé mathématique, il peut être vrai ou faux}$

$\text{Collection d'objets}$

$\text{Ensemble contenant qu'un élément}$

$\{k \in \mathbb Z | a \le k \le b\}$

$\{x \in \mathbb R | a \le x \le b\}$

$\forall a \in A \quad a \in B$

$\{x \in E | x \in A \text{ ou } x \in B\}$

$\{x \in E | x \in A \text{ et } x \in B\}$

$A \cap B = \emptyset$

$A \subset B \text{ et } B \subset A$

$\{x \in A | x \not \in B\}$

$E \setminus A$

$\{(a, b), a \in A \text{ et } b \in B\}$

$\{B, B \subset A\}$

$\forall a \in A \quad a \le M$

$\forall a \in A \quad a \ge m$

$A \text{ est une partie majorée et une partie minorée de } \mathbb R$

$\begin{cases} M \in A \\ \forall a \in A \quad a \le M \end{cases}$

$\begin{cases} m \in A \\ \forall a \in A \quad a \ge m \end{cases}$

$\sum_{a \in A}a$

$\prod_{a \in A}a$

$0$

$1$

$\prod^n_{k=1} k = 1 \times 2 \times ... \times n$

$\begin{cases} \frac{n!}{k!(n-k)!} \text{ si } 0 \le k \le n \\ 0 \text{ sinon} \end{cases}$

$\text{Famille d'assertion logique indexée par } E \times F$

$\text{Ensemble } \{(x, y) \in E \times F | xRy\}$

$\text{Relation binaire } R \text{ sur } E^2 \text{ vérifiant : } $
$\begin{cases} \forall x \in E \quad xRx \quad \text{(Réflexitivité)} \\ \forall (x, y) \in E^2 \quad xRy \implies yRx \quad \text{(Symétrie)} \\ \forall (x, y, z) \in E^3 \quad \begin{cases}xRy \\ yRz\end{cases} \implies xRz \quad \text{(Transitivité)} \end{cases}$

$\{y \in E | xRy\}$

$\text{Relation binaire } R \text{ sur } E^2 \text{vérifiant : } $
$\begin{cases} \forall x \in E \quad xRx \quad \text{(Réflexivité)} \\ \forall (x, y) \in E^2 \quad \begin{cases} xRy \\ yRx \end{cases} \implies x = y \quad \text{(Anti-symétrie)} \\ \forall (x, y, z) \in E^3 \quad \begin{cases}xRy \\ yRz\end{cases} \implies xRz \quad \text{(Transitivité)} \end{cases}$

$\forall (x, y) \in E^2, xRy \text{ ou } yRx$

$\text{Relation d'ordre qui n'est pas total}$

$\text{Application binaire } f \text{ sur } E \times F \text{ vérifiant : } \forall x \in E \quad \exists! y \in F \quad xRy$

$\text{L'unique élément } y \text{ de } F \text{ tel que } xfy$

$\text{Élément } x \text{ de } E \text{ tel que } xfy$

$E^F \text{ ou } \mathscr{F}(E, F)$

$ \begin{array}{rccc} Id_E: & E & \longrightarrow & E \\ & x & \longmapsto & x \end{array} $

$ \begin{array}{rccc} \mathbb{1}_A: & E & \longrightarrow & \{0, 1\} \\ & x & \longmapsto & \begin{cases} 1 \text{ si } x \in A \\ 0 \text{ sinon} \end{cases} \end{array} $

$\forall (x, x') \in E^2 \quad f(x) = f(x') \implies x = x'$

$\forall y \in F \quad \exists x \in E \quad f(x) = y$

$\forall y \in F \quad \exists! x \in E \quad f(x) = y$

$\text{Application } g: F \rightarrow E \text{ tel que } \forall (x, y) \in E \times F \quad xfy \Longleftrightarrow yfx$

$\begin{array}{rccc} g \circ f: & E & \longrightarrow & G \\ & x & \longmapsto & g(f(x)) \end{array}$

$f(A) = \{f(x)| x \in A\}$

$f(E)$

$f^{-1}(B) = \{x \in E | f(x) \in B\}$

$\begin{array}{rccc} f|_A: & A & \longrightarrow & F \\ & a & \longmapsto & f(a) \end{array}$

$\text{Fonction } \begin{array}{rccc} g: & G & \longrightarrow & F\end{array} \text{ tel que } \begin{cases} \forall x \in E \quad f(x) = g(x) \\ E \subset G \end{cases}$

$a - ib$

$a$

$b$

$\text{ Forme } z = a + ib \text{ où } (a, b) \in \mathbb R^2$

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\text{Ensemble des nombres complexes de module 1}$

$\text{Tout } \theta \in \mathbb R \text{ tel que } e^{i\theta} = \frac{z}{|z|}$

$\text{Unique argument } \theta \text{ de } z \text{ tel que } \theta \in [0, 2\pi]$

$z \in \mathbb C \text{ tel que } z^n = 1$

$z \in \mathbb C \text{ tel que } z^n = z_0$

$\forall x \in \{x \in \mathbb R | x \neq \frac{\pi}{2} \quad [\pi]\} \quad tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$

$\text{Intervalle de la forme } [a, b]$

$\text{Intervalle non vide et non réduit à un point}$

$|x| = \begin{cases}x \text{ si } x \ge 0 \\ -x \text{ si } x < 0\end{cases}$

$x^+ = max(x, 0)$

$x^- = max(-x, 0)$

$max({k \in \mathbb Z | k \le x})$

$\begin{array}{rccc} f + g: & I & \longrightarrow & \mathbb K \\ & x & \longmapsto & f(x) + g(x) \end{array}$

$\begin{array}{rccc} f \times g: & I & \longrightarrow & \mathbb K \\ & x & \longmapsto & f(x) \times g(x) \end{array}$

$\forall x \in E \quad -x \in E$

$\begin{cases}E \text{ est centré en } 0 \\ \forall x \in E \quad f(x) = f(-x)\end{cases}$

$\exists T \in \mathbb K^* \quad \forall x \in E \quad \begin{cases}x + T \in E \\ f(x + T) = f(x)\end{cases}$

$\forall (x, x') \in E^2 \quad x \le x' \implies f(x) \le f(x')$

$\forall (x, x') \in E^2 \quad x < x' \implies f(x) < f(x')$

$\forall (x, x') \in E^2 \quad x \le x' \implies f(x) \ge f(x')$

$\forall (x, x') \in E^2 \quad x < x' \implies f(x) > f(x')$

$\exists c \in F \quad \forall x \in E \quad f(x) = c$

$\text{Fonction (strictement) croissante ou (strictement) décroissante}$

$f(x)\underset{x \to a}{\longrightarrow}f(a)$

$\text{Pour tout } a \in I, f \text{ est continue en } a$

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \in \mathbb R$

$\text{Pour tout } a \in I, f \text{ est dérivable en a}$

$\text{C'est la primitive de la fonction inverse s'annulant en } 1$

$\text{Bijection réciproque de la fonction logarithme népérien : } exp = ln^{-1}$

$exp(1)$

$e^{\alpha ln(x)}$

$\frac{ln}{\ln(a)}$

$arccos = COS^{-1}$
$arcsin = SIN^{-1}$
$arctan = TAN^{-1}$

$ch : \text{ partie paire de la fonction } exp$
$sh : \text{ partie impaire de la fonction } exp$
$th = \frac{sh}{ch}$

$\text{Fonction } F \text{ dérivable tel que } F' = f$

$\text{Fonction continue et dérivable sur } I \text{ et dont la dérivée est continue sur } I$

$\text{Quotient de deux polynômes}$

$\text{Fraction rationnelle de la forme : } \begin{cases} F = P \text{ où } P \text{ désigne un polynôme} \\ \frac{1}{(X-a)^n} \text{ où } (a, n) \in \mathbb R \times \mathbb N^* \\ \frac{aX + b}{((X-c)^2+d^2)^n} \text{ où } (a, b, c, d, n) \in (\mathbb R^2 \setminus \{(0, 0)\}) \times \mathbb R \times \mathbb R^* \times \mathbb N^* \end{cases}$

$\text{Équation de la forme : }$
$(E): ay' + by = c \quad$
$ \text{où } \begin{array}{rccc} a, b, c : & I & \longrightarrow & \mathbb K\end{array}$

$\text{Équation de la forme : }$
$(E'): ay' + by = 0 \quad$
$ \text{où } \begin{array}{rccc} a, b : & I & \longrightarrow & \mathbb K\end{array}$

$\text{Équation de la forme : }$
$(E'): ay'' + by' + cy = h \quad$
$ \text{où } \begin{cases} (a, b, c) \in \mathbb K^* \times \mathbb K^2 \\ \begin{array}{rccc} h : & I & \longrightarrow & \mathbb K\end{array}\end{cases}$

$\text{Équation de la forme : }$
$(E'): ay'' + by' + cy = 0 \quad$
$ \text{où }(a, b, c) \in \mathbb K^* \times \mathbb K^2$

$\text{Équation d'inconnue } r \in \mathbb C \text{ de la forme : }$
$(EC): ar² + br + c = 0 \quad$
$ \text{où }(a, b, c) \in \mathbb K^* \times \mathbb K^2$

$\text{Plus petit majorant de } A$

$\text{Plus grand minorant de } A$

$\overline{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{-\infty, +\infty\}$

$\begin{cases} A \subset \mathbb R \\ \forall (a, b) \in A^2 \quad a \neq b \implies ]a, b[ \cap \mathbb R \neq \emptyset \end{cases}$

$\text{Application de } \mathbb N \text{ dans } \mathbb K$

$\exists r \in \mathbb K \quad \forall n \in \mathbb N \quad u_{n + 1} = u_n + r$

$\exists q \in \mathbb K \quad \forall n \in \mathbb N \quad u_{n + 1} = u_n \times q$

$\exists (r, q) \in \mathbb K^2 \quad \forall n \in \mathbb N \quad u_{n+1} = q \times u_n + r$

$\exists (c, n_0) \in \mathbb K \times \mathbb N \quad \forall n \in \mathbb N \quad n \ge n_0 \implies u_n = c$

$\exists \sigma \in \mathbb N ^ \mathbb N \quad \begin{cases} \sigma \text{ est strictement croissante} \\ \forall n \in \mathbb N \quad v_n = u_{\sigma(n)}\end{cases}$

$\exists \ell \in \mathbb R \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_0 \in \mathbb N \quad \forall n \in \mathbb N \quad n \ge n_0 \implies |u_n - \ell| \le \varepsilon$

$u \text{ converge vers } \ell$

$\text{Suite qui ne converge pas}$

$\forall M \in \mathbb R \quad \exists n_0 \in \mathbb N \quad \forall n \in \mathbb N \quad n > n_0 \implies u_n \ge M$

$\forall m \in \mathbb R \quad \exists n_0 \in \mathbb N \quad \forall n \in \mathbb N \quad n > n_0 \implies u_n \le m$

$\begin{cases} u \text{ est croissante} \\ v \text{ est décroissante} \\ v_n - u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0 \end{cases}$

$\text{Limite d'une suite extraite de } u$

$\text{Famille de segments décroissante pour l'inclusion}$

$\forall a \in A \quad f(a) \in A$

$|u| \text{ est majorée}$

$\exists \ell \in \mathbb C \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \exists n_0 \in \mathbb N \quad \forall n \in \mathbb N \quad n \ge n_0 \implies |u_n - \ell| \le \varepsilon$

$\exists (a, b, c) \in \mathbb C^* \times \mathbb C^2 \quad \forall n \in \mathbb N \quad a u_{n+2} + b u_{n+1} + c u_n = 0$

$\exists \delta > 0 \quad [a - \delta, a + \delta] \subset \cal V$

$\exists A \in \mathbb R \quad [A, +\infty] \subset \cal V$

$\exists A \in \mathbb R \quad [-\infty, A] \subset \cal V$

$]a, b[$

$\forall \cal{V}_\ell \in \cal{V}(\ell) \quad \exists \cal{V}_a \in \cal{V}(a) \quad \forall x \in \cal{V}_a \quad f(x) \in \cal{V}_\ell$

$\ell \text{ est la limite de la restriction à } I \cap ]-\infty, a[ \text{ de } f$

$\ell \text{ est la limite de la restriction à } I \cap ]a, +\infty[ \text{ de } f$

$ f(x)\underset{>}{\underset{x \to a}{\longrightarrow}} f(a)$

$ f(x)\underset{<}{\underset{x \to a}{\longrightarrow}} f(a)$

$\forall x \in I \quad \tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) \text{ si } x \neq a \\ \lim_{x \to a} \text{ si x = a}\end{cases}$

$|f| \text{ est majorée au voisinage de } a$

$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \in \mathbb R$

$\lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \in \mathbb R$

$\exists \delta > 0 \quad \forall x \in I \quad |x - a| \le \delta \implies f(x) \le f(a)$

$\exists \delta > 0 \quad \forall x \in I \quad |x - a| \le \delta \implies f(x) \ge f(a)$

$\text{La fonction est continue sur } I$

$\exists g \in (\mathbb R ^ I)^n \quad \begin{cases} g_0 = f \\ \forall k < n \quad g_k \text{ dérivable sur } I \\ g_k' = g_{k+1} \end{cases}$

$\begin{cases}f \text{ est } n \text{ fois dérivable sur } I \\ f^{(n)} \text{ est continue sur }I \end{cases}$

$f \text{ est indéfiniment dérivable sur } I$

$\text{Application de la forme } \begin{array}{rccc} & E^2 & \longrightarrow & E \\ & (x, y) & \longmapsto & x * y \end{array}$

$\text{Ensemble muni d'une loi de composition interne}$

$\forall (x, y, z) \in E^3 \quad (x * y) * z = x * (y * z)$

$\forall (x, y) \in E^2 \quad x * y = y * x$

$\forall x \in E \quad x * e = e * x = x$

$\exists y \in E \quad x * y = y * x = e$

$\begin{cases} * \text{ est une loi de composition interne sur } G \\ * \text{ est associative} \\ * \text{ possède un élément neutre} \\ \text{Pour tout } x \in G, x \text{ est symétrisable}\end{cases}$

$\text{Groupe dont la loi de composition interne est commutative}$

$\text{C'est le symétrique}$

$\text{Symétrique de } x$

$\begin{cases} H \text{ est stable par } * \\ (H, *) \text{ est un groupe} \end{cases}$

$\forall (x, y) \in G^2 \quad f(x * y) = f(x) \square f(y)$

$\text{Morphisme bijectif}$

$\text{Morphisme d'un groupe sur lui-même}$

$\text{Isomorphisme & Endomorphisme}$

$\text{Il existe un isomorphisme de } (G, *) \text{ sur } (G', \square)$

$\{x \in G | f(x) = e_{G'}\}$

$\forall (x, y, z) \in E^3 \quad \begin{cases} x*(y+z) = x*y + x*z \\ (x+y)*z = x*z + y*z \end{cases}$

$\begin{cases} (A, +) \text{ est un groupe abélien} \\ * \text{ est une loi de composition interne sur } A \\ * \text{ est associative et possède un élément neutre} \\ * \text{ est distributive sur } + \end{cases}$

$* \text{ est commutative}$

$\forall a \in A^* \quad \forall (x, y) \in A^2 \quad \begin{cases}a*x = a*y \implies x = y \\ x*a = y*a \implies x = y\end{cases}$

$\{x \in A | \exists y \in A \quad x*y = y*x = 1_A\}$

$\begin{cases}B \text{ est un sous-groupe de } (A, +) \\ B \text{ est stable par } * \\ 1_A \in B \end{cases}$

$\begin{cases}\forall (x,y) \in A^2 \quad f(x + y) = f(x) +' f(y) \\ \forall (x, y) \in A^2 \quad f(x*y) = f(x)*'f(y) \\ f(1_A) = 1_{A'}\end{cases}$

$\begin{cases}(\mathbb K, +, *) \text{ est un anneau commutatif} \\ \text{Pour tout } x \in \mathbb K^*, x \text{ inversible pour } *\end{cases}$

$\begin{cases}(\mathbb L, +, *) \text{ est un sous-anneau de l'anneau } (K, +, *) \\ \forall x \in \mathbb L^* \quad x^{-1} \in \mathbb L\end{cases}$

$f \text{ est un morphisme d'anneau de } (\mathbb K, +, *) \text{ sur } (\mathbb K', +', *')$

$\exists k \in \mathbb Z \quad ak = b$

$\exists k \in \mathbb Z \quad a = b + nk$

$\{k \in \mathbb Z | \exists k' \in \mathbb Z \quad kk' = n\}$

$\begin{cases} d \in D(a) \cap D(b) \\ \forall d' \in D(a) \cap D(b) \quad d' | d \\ d \ge 0\end{cases}$

$\{nk\}_{k \in \mathbb Z}$

$\begin{cases} m \in a\mathbb Z \cap b\mathbb Z \\ \forall m' \in a\mathbb Z \cap b\mathbb Z \quad m' | m \\ m \ge 0\end{cases}$

$a \wedge b = 1$

$Card(D(a) \cap \mathbb N) = 2$

$n = \max(\{k \in \mathbb Z / p^k|a\})$

$PGCD(a_1, a_2, ..., a_n) = 1$

$\text{Suite } (a_n) \in \mathbb K^n \text{ ne comptant qu'un nombre fini de termes non nuls}$

$P + Q = (a_n + b_n)_{n \in \mathbb N}$

$\lambda P = (\lambda a_n)_{n \in \mathbb N}$

$P \times Q = (c_n)_{n \in \mathbb N} \quad\text{ où }\quad \forall n \in \mathbb N, \quad c_n = \sum^n_{k=0}a_kb_{n-k} = \sum^n_{k=0}a_{n-k}b_k$

$\begin{cases}-\infty \quad \text{ si } P = 0_{\mathbb K[X]} \\ max(\{n \in \mathbb N / a_n \neq 0\}) \quad \text{ sinon} \end{cases}$

$X = (0, 1, 0, 0, ...) = (\delta_{1, n})_{n \in \mathbb N}$

$\mathbb K[X]$

$P \circ Q = P(Q) = \sum^n_{k=0}a_kQ^k$

$\forall k \in \mathbb N, a_{2k+1} = 0$

$\forall k \in \mathbb N, a_{2k} = 0$

$P(x) = \sum^{+\infty}_{k=0}a_kx^k$

$\begin{array}{rccc} \tilde P: & \mathbb K & \longrightarrow & \mathbb K \\ & x & \longmapsto & P(x) \end{array}$

$P(a) = 0$

$\exists Q \in \mathbb K[X], A = BQ$

$A \text{ divise } B \text{ et } B \text{ divise } A$

$\begin{cases}deg(P) \ge 1\\ \text{Les diviseurs de } P \text{ sont les polynômes constants non nuls et ses polynômes associés}\end{cases}$

$P' = \sum^{+\infty}_{k=0}a_kkX^{k-1} = \sum^{+\infty}_{k=1}(k+1)a_{k+1}X^k$

$\begin{cases}P^{(0)} = P \\ \forall k \in \mathbb N, P^{(k+1)}=(P^{(k)})'\end{cases}$

$\alpha \in \mathbb N^* \text{ tel que } \begin{cases}(X-a)^\alpha \text{ divise } P \\ (X-a)^{\alpha +1} \text{ ne divise pas } P\end{cases}$

$\text{Polynôme non nul dont la somme des ordres de multiplicités de ses racines vaut } deg(P)$

$\begin{cases} E \neq \emptyset \\ (E, +) \text{ est un groupe abélien} \\ \forall(\lambda, \mu, \vec u, \vec v) \in \mathbb K^2 \times E^2 \quad \begin{cases} \lambda(\vec u + \vec v) = \lambda \vec u + \lambda \vec v \\ (\lambda + \mu) \vec u = \lambda \vec u + \mu \vec u \end{cases} \\ \forall (\lambda, \mu, \vec u) \in \mathbb K^2 \times E \quad \lambda(\mu \vec u) = (\lambda\mu) \vec u \\ \forall \vec u \in \mathbb E \quad 1 \cdot \vec u = \vec u\end{cases}$

$\text{Éléménts d'un espace vectoriel}$

$\text{Éléments du corps}$

$\vec 0 \text{ : c'est l'élément neutre pour } +$

$\begin{cases} F \subset E \\ F \neq \emptyset \\ \forall(\lambda, \mu, \vec u, \vec v) \in \mathbb K^2 \times F^2 \quad \lambda \vec u + \mu \vec v \in F\end{cases}$

$\text{Plus petit sous-espace vectoriel contenant } A$

$\text{Vecteur de la forme } \sum_{i \in I}\lambda_i \vec x_i$

$Vect(\mathscr F) = E$

$\sum_{i \in I}\lambda_i \vec x_i = \vec 0 \implies \forall i \in I \quad \lambda_i = 0$

$\mathscr F \text{ n'est pas libre}$

$\mathscr B \text{ est une famille libre et génératrice de } E$

$F + G = \{\vec u + \vec v\}_{(\vec u, \vec v) \in F \times G}$

$\forall(\vec u, \vec v) \in F \times G \quad \vec u + \vec v = \vec 0 \implies \vec u = \vec v = \vec 0$

$F \oplus G = E$

$\mathscr B = \mathscr B_F \cup \mathscr B_G \text{ et } E = F \oplus G$

$\text{Application } f: E \rightarrow F \text{ tel que : }$
$\forall (\lambda, \mu) \in \mathbb K^2 \quad \forall (u, v) \in E^2 \quad f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$

$Ker(f) = \{x \in E / f(x) = 0_F\}$

$\text{sev } H \text{ de } E \text{ tel qu'il existe une forme linéaire non nulle } f \text{ telle que } H = Ker(f)$

$\text{Application de la forme } f = \lambda Id \text{ avec } \lambda \in \mathbb K$

$\text{En ayant } E_1 \text{ et } E_2 \text{ des sev de } E \text{ de sorte que } E_1 \oplus E_2 = E$
$\text{Unique endomorphisme } p \text{ de } E \text{ tel que } \begin{cases} \forall x \in E_1 \quad p(x) = x \\ \forall x \in E_2 \quad p(x) = 0\end{cases}$

$\text{Endomorphisme tel que } p \circ p = p$
$\text{C'est un endomorphisme idempotent}$

$\text{En ayant } E_1 \text{ et } E_2 \text{ des sev de } E \text{ de sorte que } E_1 \oplus E_2 = E$
$\text{Unique endomorphisme } s \text{ de } E \text{ tel que } \begin{cases} \forall x \in E_1 \quad s(x) = x \\ \forall x \in E_2 \quad s(x) = -x\end{cases}$

$\text{Endomorphisme tel que } p \circ p = Id$
$\text{C'est un endomorphisme involutif}$

$\forall f \in \mathscr L(E) \quad \forall P = \sum^{+\infty}_{k=0}a_kX^k \in \mathbb K[X] \quad P(f) = \sum^{+\infty}_{k=0}a_kf^k$

$\text{Fonction } f : I \mapsto \mathbb R \text{ tel que } : $
$\forall(x_1, x_2) \in I^2 \quad \forall \lambda \in [0, 1] \quad f((1-\lambda) x_1 + \lambda x_2) \le (1-\lambda) f(x_1) + \lambda f(x_2)$

$\text{Fonction } f : I \mapsto \mathbb R \text{ tel que } : $
$\forall(x_1, x_2) \in I^2 \quad \forall \lambda \in [0, 1] \quad f((1-\lambda) x_1 + \lambda x_2) \ge (1-\lambda) f(x_1) + \lambda f(x_2)$

$\exists(M, n_0) \in \mathbb R^+ \times \mathbb N \quad \forall n \in \mathbb N \quad n \ge n_0 \quad \implies \quad |u_n| \le M|v_n|$

$\forall \varepsilon \in \mathbb R_+^* \quad \exists n_0 \in \mathbb R^+ \quad \forall n \in \mathbb N \quad n \ge n_0 \quad \implies \quad |u_n| \le \varepsilon|v_n|$

$u_n - v_n \underset{n \to +\infty}{=} o(v_n) $

$\exists (M, \mathcal V) \in \mathbb R^+ \times \mathcal V(a) \quad \forall x \in I \quad x \in \mathcal V \implies |f(x)| \le M|g(x)|$

$\forall \varepsilon \in \mathbb R_+^* \quad \exists \mathcal V \in \mathcal V(a) \quad \forall x \in I \quad x \in \mathcal V \implies |f(x)| \le \varepsilon|g(x)|$

$f(x) - g(x) \underset{x \to a}{=} o(g(x))$

$P_n = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}}{k!}(x-a)^k$

$\text{Lorsque } x \rightarrow a, \quad f(x) = P_n(x - a) + o((x-a)^n)$

$\text{Si lorsque } x \rightarrow 0 \quad f(x) = \sum_{k=0}^n a_nx^n + o(x^n)$
$P = \sum_{k=0}^n a_nX^n \text{ est la partie régulière du développement limité d'ordre n de } f \text{ en } 0$

$\mathscr A : y = ax+b \text{ est asymptote en } \pm \infty \text{ si et seulement si } \lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)-(ax+b) = 0$

$\mathscr A : y = x_0 \text{ est asymptote en } a \text{ si et seulement si } \lim_{x \rightarrow x_0} |f(x)| = +\infty$

$E \text{ n'admet pas de familles génératrices de cardinal finie}$

$\text{Cardinal des bases de } E$

$Card(Vect(\mathscr F))$

$ \begin{array}{rccc} A: & \llbracket 1, n \rrbracket \times \llbracket 1, p \rrbracket & \longrightarrow & \mathbb K \\ &(i, j) & \longmapsto & a_{ij} \end{array} $

$(0)_{\underset{1 \le j \le p}{1 \le i \le n}}$

$(\delta_{i, j})_{\underset{1 \le j \le p}{1 \le i \le n}}$

$(\delta_{i, r}\delta_{j, s})_{\underset{1 \le j \le p}{1 \le i \le n}}$

$A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{\underset{1 \le j \le p}{1 \le i \le n}}$

$\lambda A = (\lambda a_{i, j})_{\underset{1 \le j \le p}{1 \le i \le n}}$

$(E_{r, s})_{\underset{1 \le s \le p}{1 \le r \le n}}$

$A \times B = \left(\sum^p_{k=1} a_{ik}b_{kj}\right)_{\underset{1 \le j \le q}{1 \le i \le n}}$

$(GL_n(\mathbb K), \times)$

$\begin{cases} A \in \mathscr M_n(\mathbb K) \\ \forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2 \quad i \neq j \implies a_{i, j} = 0 \end{cases}$

$(\delta_{i, j}\lambda_i)_{1 \le i, j \le n}$

$\forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2 \quad i > j \implies a_{ij} = 0$

$\forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2 \quad i < j \implies a_{ij} = 0$

$\forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2 \quad b_{ij} = a_{ji}$

$A = A^T$

$A^T = -A$

$\text{En notant } \forall j \in \llbracket 1, p \rrbracket \quad u_j = \sum^n_{i=1} x_{i,j}e_i,$
$Mat_\mathscr B(\mathscr F) = \begin{pmatrix} x_{1, 1} & x_{1, 2} & \ldots & x_{1, n} \\ x_{1, 1} & x_{1, 2} & \ldots & x_{1, n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{n, 1} & x_{n, 2} & \ldots & x_{n, n} \\ \end{pmatrix}$

$Mat_{\mathscr B, \mathscr C}(f) = Mat_\mathscr C(f(\mathscr B))$

$\text{En notant } \mathscr B \text{ la base canonique de } \mathbb K^p \text{ et } \mathscr C \text{ celle de } \mathbb K^n,$
$Mat_{\mathscr B, \mathscr C}(f) = A$

$M = Mat_\mathscr B(\mathscr B')$

$\text{Rang de la famille formée des par les différentes colonnes de la matrice}$

$\exists(U, V) \in GL_n(\mathbb K) \times GL_p(\mathbb K) \quad A = UBV$

$\text{Multiplication d'une ligne d'indice } i \text{ par un scalaire } \lambda \in \mathbb K^* \quad \text{On note } L_i \leftarrow \lambda L_i$
$\text{Échange d'une ligne d'indice } i \text{ et d'une ligne d'indice } j \neq i \quad \text{On note } L_i \longleftrightarrow L_j$
$\text{Ajout d'un multiple de la ligne d'indice } j \text{ à la ligne } i \neq j \quad \text{On note } L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$

$\text{Multiplication d'une colonne d'indice } i \text{ par un scalaire } \lambda \in \mathbb K^* \quad \text{On note } C_i \leftarrow \lambda C_i$
$\text{Échange d'une colonne d'indice } i \text{ et d'une colonne d'indice } j \neq i \quad \text{On note } C_i \longleftrightarrow C_j$
$\text{Ajout d'un multiple de la colonne d'indice } j \text{ à la colonne } i \neq j \quad \text{On note } C_i \leftarrow C_i + \lambda C_j$

$B \text{ peut être obtenu à partir d'une suite finie d'opération élémentaire sur les lignes de } A$

$B \text{ peut être obtenu à partir d'une suite finie d'opération élémentaire sur les colonnes de } A$

$\text{Matrice vérifiant les 2 conditions suivantes : }$
$(1) \quad \text{Si une ligne est nulle, toutes les suivantes le sont également}$
$(2) \quad \text{À partir de la deuxième ligne, dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient non nul est situé à droite du premier coefficient nun nul de la ligne précédente}$

$I_n + (\lambda - 1)E_{r, r}$

$I_n + \lambda E_{r, s}$

$\text{Système dont tous les seconds membres sont nuls}$

$\text{Rang de la matrice associée}$

$\text{Premier coefficient non-nul de la ligne}$

$\text{La matrice associée est échelonnée}$

$\text{Un de ses coefficients est le pivot d'une ligne}$

$\text{Inconnue qui n'est pas principale}$

$\text{Il existe au moins une solution}$

$\exists P \in GL_n(\mathbb K) \quad A = PBP^{-1}$

$\text{Somme des coefficients diagonaux de la matrice}$

$\text{Trace de la matrice de l'endomorphisme (peut importe la base}$

$\exists n \in \mathbb N^* \quad \exists \varphi: \llbracket 1, n \rrbracket \quad \varphi \text{ est bijective}$

$\text{Élément de } E^p$

$p\text{-uplet d'éléments 2 à 2 distincts de } E$

$\text{Application bijective de } E \text{ dans } E$

$\exists (i, j) \llbracket 1, n \rrbracket^2 \quad \begin{cases} i \neq j \\ \tau(i) = j \\ \tau(j) = i \\ \forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket \setminus \{i, j\} \quad \tau(k) = k \end{cases}$

$\exists (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2 \quad \begin{cases} i \neq j \\ A = \{i, j\} \end{cases} $

$\dfrac{\sigma(i) - \sigma(j)}{i-j} < 0$

$(-1)^{Inv(\sigma)}$

$\varepsilon(\sigma) = 1$

$\varepsilon(\sigma) = -1$

$\{\sigma^k(x)\}_{k \in \mathbb Z}$

$\{x \in \llbracket 1, n \rrbracket | \sigma(x) \neq x\}$

$\text{Permutation sans points fixes}$

$\text{Élément de } S_n \text{ admettant une unique orbite de cardinal } \ge 2$

$\varphi \text{ est linéaire par rapport à sa } n\text{-ieme variable}$

$\forall \sigma \in S_n \quad \sigma \cdot \varphi = \varphi$

$\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma)a_{\sigma(1), 1} ... a_{\sigma(n), n}$
$\text{où } (a_{i,j})_{1 \le i, j \le n} = Mat_\mathscr B(\mathscr F)$

$det_\mathscr B(\mathscr C) > 0$

$\text{Base appartenant à la classe d'équivalence décrétée comme directe}$

$det_\mathscr B(f(\mathscr B))$

$\text{Déterminant de la famille formée par les colonnes de la matrice}$

$\text{Déterminant de la matrice déduite en supprimant la } i^e \text{ ligne et la } j^e \text{ colonne}$

$(-1)^{i+j}\Delta_{i, j}$

$\text{Matrice formée par les cofacteurs de la matrice}$

$\text{Ensemble de toutes les issues d'une expérience aléatoire}$

$\text{Élément de l'univers}$

$\text{Partie de l'univers}$