1Dérivée de $u^n$
$n\times u' \times u^{n-1}$
2Dérivée de $\sqrt{u}$
$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
3Dérivée de $\text{e}^u$
$u' \times \text{e}^u$
4Comment étudier la convexité d'une fonction?
Si $f''>0$ sur un intervalle I alors $f$ est convexe sur I.
Si $f''<0$ sur un intervalle I alors $f$ est concave sur I
5Comment trouver un point d'inflexion à $\mathscr{C}_f$ ?
On prouve que $f''$ s'annule en changeant de signe
6Comment prouver qu'une variable aléatoire suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n,p)$?
Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de succès S de probabilité p
On repète n fois de façon identique et indépendante cette épreuve de Bernoulli.
On obtient un schéma de Bernoulli.
La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p.
7$P(X=k)$ avec X suit $\mathscr{B}(n,p)$?
$P(X=k)=\displaystyle \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
8Définition de $\displaystyle \binom{n}{k}$
Sur un schéma de Bernoulli (arbre) c'est le nombre de chemins qui réalisent $k$ succès parmi les $n$ répétitions
9Que vaut $\displaystyle \binom{n}{0}$
1 (il y a un seul chemin avec 0 succès)
10Que vaut $\displaystyle \binom{n}{1}$
$n$
11Que vaut $\displaystyle \binom{n}{n}$
1 (un seul chemin avec que des succès)
12$E(X)$ avec X suit $\mathscr{B}(n,p)$
$E(X)=np$
13$V(X)$ avec X suit $\mathscr{B}(n,p)$
La variance est $V(X)=np(1-p)$
14$\sigma(X)$ avec X suit $\mathscr{B}(n,p)$
L'écart type est $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$
15Calculer $P(X\geq 1)$ avec X suit $\mathscr{B}(n,p)$
$P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-p^n$
16Triangle de Pascal
$\displaystyle \binom{n+1}{k+1}=\displaystyle \binom{n}{k}+\displaystyle \binom{n}{k+1}$
17Appliquer le triangle de Pascal à $\displaystyle \binom{8}{5}$
$\displaystyle \binom{8}{5}=\displaystyle \binom{7}{4}+\displaystyle \binom{7}{5}$