Suites

On appelle suite arithmétique de raison r la suite définie par un premier terme, par exemple $u_0$, et par la relation de récurrence :
pour tout entier $n \geq 0$, $u_{n+1}=u_n+r$

On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r

On montre que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_{n}$ est constant.
Cette constante est la raison de la suite.

Par exemple, si on montre que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=-2$, on en déduit que $(u_n)$ est arithmétique de raison $-2$

Un contre-exemple permet de démontrer qu'une suite n'est pas arithmétique, ainsi si
$u_2-u_1 \neq u_1-u_0$
alors $(u_n)$ n'est pas arithmétique

Pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0+nr$

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n=u_1+(n-1)r$

On sait que $u_n=u_p+(n-p)r$
On remplace $u_n$ et $u_p$ par leurs valeurs
On résout l'équation d'inconnue $r$

$S=(nb~termes) \times \dfrac{1er~terme~+~dernier~terme}{2}$

Si r>0 la suite est croissante
Si r<0 la suite est décroissante
Si r=0 la suite est constante

Soit $q$ un réel non nul. On appelle suite géométrique de raison $q$ la suite définie par un premier terme, $u_1$ par exemple, et la relation
pour tout $n \geq 1$, $u_{n+1}=qu_n$

On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $q$

On montre qu'il existe un réel $q$ tel que pour tout $n$, $u_{n+1}=qu_n$

à l'aide d'un contre-exemple.

Ainsi si $\dfrac{u_2}{u_1}\neq\dfrac{u_1}{u_0}$ alors $\displaystyle{(u_n)}$ n'est pas géométrique

Pour tout entier $n$, $u_n=u_0 \times q^n$

Pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n=u_1 \times q^{n-1}$

Pour tout entier naturel $n\geq p$ , $u_n=u_p \times q^{n-p}$

premier terme $\times \dfrac{q^{nb~ termes}-1}{q-1}$

si $q<0$ la suite n'est pas montone

Si $ 0<q<1$ et $u_0<0$ la suite est croissante
Si $ 0<q<1$ et $u_0>0$ la suite est décroissante

Si $q=1$ la suite est constante

Si $q>1$ et $u_0>0$ la suite est croissante
Si $q>1$ et $u_0<0$ la suite est décroissante