Fiche 3

$n\times u' \times u^{n-1}$

$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

$u' \times \text{e}^u$

Si $f''>0$ sur un intervalle I alors $f$ est convexe sur I.
Si $f''<0$ sur un intervalle I alors $f$ est concave sur I

On prouve que $f''$ s'annule en changeant de signe

Chaque tirage est une épreuve de Bernoulli de succès S de probabilité p
On repète n fois de façon identique et indépendante cette épreuve de Bernoulli.
On obtient un schéma de Bernoulli.
La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p.

$P(X=k)=\displaystyle \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Sur un schéma de Bernoulli (arbre) c'est le nombre de chemins qui réalisent $k$ succès parmi les $n$ répétitions

1 (il y a un seul chemin avec 0 succès)

$n$

1 (un seul chemin avec que des succès)

$E(X)=np$

La variance est $V(X)=np(1-p)$

L'écart type est $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$

$P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-p^n$

$\displaystyle \binom{n+1}{k+1}=\displaystyle \binom{n}{k}+\displaystyle \binom{n}{k+1}$

$\displaystyle \binom{8}{5}=\displaystyle \binom{7}{4}+\displaystyle \binom{7}{5}$