Révisions bac blanc

On montre que $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), par exemple en montrant que :
$\vec{n}.\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$ et $\vec{n}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=0$

P a une équation de la forme $ax+by+cz+d=0$
Pour trouver la valeur de $d$, on utilise les coordonnées de A : $A(x_A;y_A;z_A) \in P \Leftrightarrow ax_A+by_A+cz_A+d=0$

d passe par A et a pour vecteur directeur $\vec{n} (a;b;c)$ donc
Soit d : $\begin{cases} x=x_A+a \times t\\ y=y_A+b \times t\\ z=z_A+c \times t \end{cases}$, $t \in \R$

On écrit une représentation paramétrique de la droite d : elle passe par le point $A(x_A;y_A;z_A)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u} (\alpha;\beta;\gamma)$
Soit d : $\begin{cases} x=x_A+\alpha \times t\\ y=y_A+\beta \times t\\ z=z_A+\gamma \times t \end{cases}$, $t \in \R$

Les coordonnées du point d'intersection de P et d sont solutions du système :
Soit d : $\begin{cases} x=x_A+\alpha \times t\\ y=y_A+\beta \times t\\ z=z_A+\gamma \times t\\ ax+by+cz+d=0 \end{cases}$
que l'on résout en substituant $x$, $y$ et $z$ par leur expression en fonction de $t$ dans la dernière équation : on trouve alors $t$, puis $x, $y et $z$

H est le point d'intersection du plan P et de la droite orthogonale à P qui passe par A

Cette distance est la distance AH, où H est le projeté orthogonal du point A sur le plan P

$\vec{u}.\vec{v}=xx'+yy'+zz'$

On peut calculer $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ par exemple à l'aide de la formule analytique puis en déduire la valeur de $\cos(\widehat{BAC})$ en utilisant :
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\mathrm{AC}}=AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$

Il y a une infinité de solutions. Toutes les fonctions définies sur $\R$ par $x\mapsto C \text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a} $ avec C réel
si l'énoncé donne une condition initiale on peut alors déterminer la valeur de C

Si $f''>0$ sur un intervalle I alors $f$ est convexe sur I
Si $f''<0$ sur un intervalle I alors $f$ est concave sur I

On vérifie que $u$ est dérivable et strictement positive sur un intervalle I
la dérivée est $\dfrac{u'}{u}$

Si $-1<q<1$ alors $\lim\limits_{n\to+\infty}q^n =0$
Si $q\leq -1$ alors $q^n$ n'a pas de limite : la suite diverge
Si $q>1$ alors $\lim\limits_{n\to+\infty}q^n =+\infty$

Si une suite est croissante et majorée alors elle converge vers un réel $\ell$
Si une suite est décroissante et minorée alors elle converge vers un réel $\ell$

On calcule $u_{n+1}-u_n$ et on étudie le signe du résultat

si $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n =\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ alors d'après le théorème du point fixe $f(\ell)=\ell$

f est continue sur $[a;b]$
f est strictement monotone sur $[a;b]$
k est compris entre $f(a)$ et $f(b)$
Alors l'équation $f(x)=k$ a une unique solution $\alpha$ dans $[a;b]$

$\lim\limits_{x\to0^+}\ln(x) =-\infty$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x) =+\infty$

$\lim\limits_{x\to0+}x\ln(x) =0$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x} =0$
$\lim\limits_{x\to0+}x^n\ln(x) =0$
$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n} =0$

$ \frac{\infty}{\infty}$; $\frac{0}{0}$; $\infty-\infty$; $0 \times \infty$

$\ln(a)+\ln(b)$

$\ln(a)-\ln(b)$