1Formule ] taux de variation
$ τ = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
2Théorème ] équation de la tangente
$y = f'(a)(x-a)+f(a)$
3Remarque ] à quoi correspond le taux de variation ?
le taux de variation de f entre a et b correspond au coefficient directeur m de la droite (AB) sécante à la courbe Cf en A et B c'est à dire: $m=\frac{Yb-Ya}{Xb-Xa}$
4Savoir faire 1 ] Calculer le Taux de Variation
$τ= \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
5Definition ] Un nombre dérivé
Soit h ∈ ℝ ≠ 0 tel que a+h ∈ I On dit que f est derivable en a si et seulement si le taux τ de variation de f entre a et a+h tend vers un unique nombre réel si h tend vers 0. Ce nombre est appelé nombre dérivé de f en a et se note f'(a)
6Formule ] nombre dérivé
$f'(a) = lim_{h→0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
7Remarque ] tendre vers quelque chose signifie
se rapprocher de plus en plus de ce nombre
8Remarque ] Alternative, f derivable en a
On peut dire aussi que f est derivable en a si et seulement si le taux de variation entre a et x tend vers un unique nombre réel f'(a) lorsque x tend vers a : $f'(a) = lim_{x→a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
9Savoir faire 2 ] Étudier la non dérivabilité d'une fonction avec |x| en 0 de
$ τ = \frac{f(0+h)-f(0)}{h}, τ = \frac{|0+h|-|0|}{h}, τ = \frac{|h|}{h} $
10Savoir faire 3 ] Déterminer graphiquement le nombre dérivé
faut compter les carreaux
11Définition ] Tangente
la droite passant par le point A et ayant pour coefficient directeur f'(a) s'appelle la tangente a la courbe C en A ( au point d'abcisse A )
12Savoir faire 4 ] déterminer l'équation réduite de la tangente en un point d'une courbe
faut compter les carreaux
13Définition ] Fonctions Dérivés
On dit qu'une fonction est derivable sur l'intervalle I si elle est derivable en tout réel a de I.
14Dérivées de fonctions usuelles ] f(x) = k
Df = ℝ | Df' = ℝ| f'(x) = 0
15Dérivées de fonctions usuelles ] $f(x) = mx+p$
Df = ℝ | Df' = ℝ | f'(x) = m
16Dérivées de fonctions usuelles ] $f(x) = x²$
Df = ℝ | Df' = ℝ | f'(x) = 2x
17Dérivées de fonctions usuelles ] $f(x) = \frac{1}{x}$
Df = $ℝ^{*} | Df' = ℝ^{*} | f'(x) = -\frac{1}{a²} $
18Dérivées de fonctions usuelles ] $f(x) = \sqrt{x}$
$Df = ℝ_+ | Df' = ℝ^{*}_{+} | f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $
19Dérivées de fonctions usuelles ] $f(x) = x³$
Df = ℝ | Df' = ℝ | f'(x) = 3x²
20Dérivées de fonctions usuelles ] $f(x) = mx$
Df = ℝ | Df' = ℝ | f'(x) = m
21Dérivées de fonctions usuelles ] $f(x) = x^{n}$
$Df = ℝ | Df' = ℝ | f'(x) = nx^{n-1}$
22Rappel ] Conjugué d'une racine
utilisation de l'identité remarquable $a²-b² <=> (a-b)(a+b)$ dans le but de passer les racines au numérateur ou au dénominateur
23Formule] somme de dérivé
(u + v)' <=> u'+v'