Logique et théorie des ensembles : définitions

$\text{Énoncé mathématique, il peut être vrai ou faux}$

$\text{Entier naturel admettant exactement } 2 \text{ diviseurs}$

$\text{Collection d'objets}$

$\text{Ensemble contenant qu'un élément}$

$\{k \in \mathbb Z | a \le k \le b\}$

$\{x \in \mathbb R | a \le x \le b\}$

$\forall a \in A, a \in B$

$\{x \in E | x \in A \text{ ou } x \in B\}$

$\{x \in E | x \in A \text{ et } x \in B\}$

$A \cap B = \emptyset$

$A \subset B \text{ et } B \subset A$

$\{x \in A | x \not \in B\}$

$\text{Nom donné à } E \setminus A$

$\{(a, b), a \in A \text{ et } b \in B\}$

$\{$

$\forall a \in A, a \le M$

$\forall a \in A, a \ge m$

$A \text{ est une partie majorée et une partie minorée de } \mathbb R$
$\text{Cette définition s'adapte également pour les fonctions et les suites réelles}$

$M \in A \text{ et } \forall a \in A, a \le M$

$m \in A \text{ et } \forall a \in A, a \ge m$

$\sum_{a \in A}a$

$\prod_{a \in A}a$

$0$

$1$

$ \begin{cases} \frac{n!}{k!(n-k)!} \text{ si } 0 \le k \le n \\ 0 \text{ sinon} \end{cases} $

$\text{Famille d'assertion logique indexée par } E \times F$

$\text{Ensemble } G = \{(x, y) \in E \times F | xRy\}$

$\text{Relation binaire sur } E^2 \text{vérifiant : } $
$\begin{aligned} \forall x \in E, xRx \quad \text{(Réflectivité)}; \\ \forall (x, y) \in E^2, xRy \implies yRx \quad \text{(Symétrie)}; \\ \forall (x, y, z) \in E^3, xRy \text{ et } yRz \implies xRz \quad \text{(Transitivité)}. \end{aligned}$

$cl(x) = \{y \in E | xRy\}$

$\text{Relation binaire sur } E^2 \text{vérifiant : } $
$\begin{aligned} \forall x \in E, xRx \quad \text{(Réflectivité)}; \\ \forall (x, y) \in E^2, xRy \text{ et } yRx \implies x = y \quad \text{(Anti-symétrie)}; \\ \forall (x, y, z) \in E^3, xRy \text{ et } yRz \implies xRz \quad \text{(Transitivité)}. \end{aligned}$

$\forall (x, y) \in E^2, xRy \text{ ou } yRx$

$\forall x \in E, \exists! y \in F | xRy$

$f(x)$

$x$

$E^F \text{ ou } \mathscr{F}(E, F)$

$ \begin{array}{rccc} Id_E: & E & \longrightarrow & E \\ & x & \longmapsto & x \end{array} $

$ \begin{array}{rccc} \mathbb{1}_E: & E & \longrightarrow & \{0, 1\} \\ & x & \longmapsto & \begin{cases} 1 \text{ si } x \in A \\ 0 \text{ sinon} \end{cases} \end{array} $

$\forall (x, x') \in E^2, f(x) = f(x') \implies x = x'$

$\forall y \in F, \exists x \in E | f(x) = y$

$\forall y \in F, \exists! x \in E | f(x) = y$

$\begin{array}{rccc} f^{-1}: & F & \longrightarrow & E \\ & y & \longmapsto & \text{solution de } f(x) = y \end{array}$

$\begin{array}{rccc} g \circ f: & E & \longrightarrow & G \\ & x & \longmapsto & g(f(x)) \end{array}$

$f(A) = \{f(x)| x \in A\}$

$f^{-1}(B) = \{x \in E | f(x) \in B\}$

$\begin{array}{rccc} f|_A: & A & \longrightarrow & F \\ & a & \longmapsto & f(a) \end{array}$

$\text{Fonction } \begin{array}{rccc} g: & G & \longrightarrow & F\end{array} \text{ tel que } \forall x \in E, f(x) = g(x) \text{ et } E \subset G$

$\overline{z} = a - ib$

$Re(z) = a$

$Im(z) = b$

$z = a + ib \text{ où } (a, b) \in \mathbb R^2$

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\mathbb U = \{z \in \mathbb C | |z| = 1\}$

$\text{Tout } \theta \in \mathbb R \text{ tel que } e^{i\theta} = \frac{z}{|z|}$

$\text{Unique argument } \theta \text{ de } z \text{ tel que } \theta \in [0, 2\pi]$

$z \in \mathbb C \text{ tel que } z^n = 1$

$z \in \mathbb C \text{ tel que } z^n = z_0$

$\forall x \in \{x \in \mathbb R | x \neq \frac{\pi}{2} \quad [\pi]\}, tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}$

$\text{Intervalle de la forme } [a, b]$

$\text{Intervalle non vide et non réduit à un point}$

$|x| = \begin{cases}x \text{ si } x \ge 0 \\ -x \text{ si } x < 0\end{cases}$

$x^+ = max(x, 0)$

$x^- = max(-x, 0)$

$\lfloor{x} \rfloor = max({k \in \mathbb Z | k \le x})$

$\begin{array}{rccc} f + g: & I & \longrightarrow & \mathbb K \\ & x & \longmapsto & f(x) + g(x) \end{array}$

$\begin{array}{rccc} f \times g: & I & \longrightarrow & \mathbb K \\ & x & \longmapsto & f(x) \times g(x) \end{array}$

$\mathscr C = \{(x, f(x)), x \in E\} \subset \mathbb R^2$

$\forall x \in E, -x \in E$

$E \text{ est centré en } 0 \text{ et } \forall x \in E, f(x) = f(-x)$

$\exists T \in \mathbb R^*, \forall x \in E, \begin{cases}x + T \in E \\ f(x + T) = f(x)\end{cases}$

$\forall (x, x') \in E^2, x \le x' \implies f(x) \le f(x')$

$\forall (x, x') \in E^2, x < x' \implies f(x) < f(x')$

$\forall (x, x') \in E^2, x \le x' \implies f(x) \ge f(x')$

$\forall (x, x') \in E^2, x < x' \implies f(x) > f(x')$

$\exists c \in \mathbb K, \forall x \in E, f(x) = c$

$\text{Fonction (strictement) croissante ou (strictement) décroissante}$

$f(x)\underset{x \to a}{\longrightarrow}f(a)$

$\text{Pour tout } a \in I, f \text{ continue en } a$

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \in \mathbb R$

$\text{Pour tout } a \in I, f \text{ est dérivable en a}$

$\text{C'est la primitive de la fonction inverse s'annulant en } 1$

$\text{Bijection réciproque de la fonction logarithme népérien : } exp = ln^{-1}$

$e = exp(1)$

$x^{\alpha} = e^{\alpha ln(x)}$

$arccos = COS^{-1}$
$arcsin = SIN^{-1}$
$arctan = TAN^{-1}$

$ch : \text{ partie paire de la fonction } exp$
$sh : \text{ partie impaire de la fonction } exp$
$th = \frac{sh}{ch}$

$\text{Fonction } F \text{ dérivable tel que } F' = f$

$\text{Fonction continue et dérivable sur } I \text{ et dont la dérivée est continue sur } I$

$\text{Quotient de deux polynômes}$

$\text{Fraction rationnelle de la forme : } \begin{cases} F = P \text{ où } P \text{ désigne un polynôme} \\ \frac{1}{(X-a)^n} \text{ où } (a, n) \in \mathbb R \times \mathbb N^* \\ \frac{aX + b}{((X-c)^2+d^2)^n} \text{ où } (a, b, c, d, n) \in (\mathbb R^2 \setminus \{(0, 0)\}) \times \mathbb R \times \mathbb R^* \times \mathbb N^* \end{cases}$

$\text{Équation de la forme : }$
$(E): ay' + by = c \quad$
$ \text{où } \begin{array}{rccc} a, b, c : & I & \longrightarrow & \mathbb K\end{array}$

$\text{Équation de la forme : }$
$(E'): ay' + by = 0 \quad$
$ \text{où } \begin{array}{rccc} a, b : & I & \longrightarrow & \mathbb K\end{array}$

$\text{Équation de la forme : }$
$(E'): ay'' + by' + cy = h \quad$
$ \text{où } \begin{cases} (a, b, c) \in \mathbb K^* \times \mathbb K^2 \\ \begin{array}{rccc} h : & I & \longrightarrow & \mathbb K\end{array}\end{cases}$

$\text{Équation de la forme : }$
$(E'): ay'' + by' + cy = 0 \quad$
$ \text{où }(a, b, c) \in \mathbb K^* \times \mathbb K^2$

$\text{Équation d'inconnue } r \in \mathbb C \text{ de la forme : }$
$(EC): ar² + br + c = 0 \quad$
$ \text{où }(a, b, c) \in \mathbb K^* \times \mathbb K^2$

$\text{Plus petit majorant de } A, \text{ elle est notée } sup(A)$

$\text{Plus grand minorant de } A, \text{ elle est notée } inf(A)$

$\overline{\mathbb R} = \mathbb R \cup \{-\infty, +\infty\}$

$\forall (a, b) \in \mathbb R^2 \text{ tel que } a \neq b, ]a, b[ \cap \mathbb R \neq \emptyset$

$\text{Application de } \mathbb N \text{ dans } \mathbb K$

$\exists r \in \mathbb K, \forall n \in N, u_{n + 1} = u_n + r$

$\exists q \in \mathbb K, \forall n \in N, u_{n + 1} = u_n \times q$

$\exists (r, q) \in \mathbb K^2, \forall n \in \mathbb N, u_{n+1} = q \times u_n + r$

$\exists (c, n_0) \in \mathbb K \times \mathbb N, \forall n \ge n_0, u_n = c$

$\forall n \in \mathbb N, v_n = u_{\sigma_n}$

$\exists \ell \in \mathbb R, \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb N, \forall n \ge n_0, |u_n - \ell| \le \varepsilon$

$u \text{ converge vers } \ell$

$\text{Suite qui ne converge pas}$

$\forall M \in \mathbb R, \exists n_0 \in \mathbb N, \forall n > n_0, u_n \ge M$

$\forall m \in \mathbb R, \exists n_0 \in \mathbb N, \forall n > n_0, u_n \le m$

$u\text{ croissante, } v \text{ décroissante et } v_n - u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$

$\text{Limite d'une suite extraite de } u$

$\text{Famille de segment décroissante pour l'inclusion}$
$\mathscr F = ([a_n, b_n])_{n \in \mathbb N} \text{ telle que } \forall n \in \mathbb N, [a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]$

$\forall a \in A \subset E, f(a) \in A$

$|u| \text{ est majorée}$

$\exists \ell \in \mathbb C, \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb N, \forall n \ge n_0, |u_n - \ell| \le \varepsilon$

$\exists (a, b, c) \in \mathbb C^* \times \mathbb C^2, \forall n \in \mathbb N, a u_{n+2} + b u_{n+1} + c u_n = 0$

$\exists \delta > 0, [a - \delta, a + \delta] \subset \cal V$

$\exists A \in \mathbb R, [A, +\infty] \subset \cal V$

$\exists A \in \mathbb R, [-\infty, A] \subset \cal V$

$\overset{\circ} I = ]a, b[$

$\forall \cal{V}_\ell \in \cal{V}(\ell), \exists \cal{V}_a \in \cal{V}(a), \forall x \in \cal{V}_a, f(x) \in \cal{V}_\ell$

$\ell \text{ est la limite de la restriction à } I \cap ]-\infty, a[ \text{ de } f$

$\ell \text{ est la limite de la restriction à } I \cap ]a, +\infty[ \text{ de } f$

$ f(x)\underset{>}{\underset{x \to a}{\longrightarrow}} f(a)$

$ f(x)\underset{<}{\underset{x \to a}{\longrightarrow}} f(a)$

$\forall x \in I, \tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) \text{ si } x \neq a \\ \lim_{x \to a} \text{ si x = a}\end{cases}$

$|f| \text{ est majorée au voisinage de } a$

$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \in \mathbb R$

$\lim_{x \to a^-} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \in \mathbb R$

$\exists \delta > 0, \forall x \in I, |x - a| \le \delta \implies f(x) \le f(a)$

$\exists \delta > 0, \forall x \in I, |x - a| \le \delta \implies f(x) \ge f(a)$

$\text{La fonction est continue sur } I$

$\exists \begin{array}{rc} f^{(0)}, f^{(1)}, ..., f^{(n)}: & I & \longrightarrow & \mathbb R\end{array}, \begin{cases} f^{(0)} = f \\ \forall k < n, f^{(k)} \text{ est dérivable}\end{cases}$

$\begin{cases}f \text{ est } n \text{ fois dérivable sur } I \\ f^{(n)} \text{ est continue sur }I \end{cases}$

$f \text{ est indéfiniment dérivable sur } I$

$\text{Application de la forme } \begin{array}{rccc} *: & E^2 & \longrightarrow & E \\ & (x, y) & \longmapsto & x * y \end{array}$

$\text{Ensemble de nombres muni d'une loi de composition interne}$

$\forall (x, y, z) \in E^3, (x * y) * z = x * (y * z)$

$\forall (x, y) \in \mathbb E^2, x * y = y * x$

$\forall x \in E, x * e = e * x = x$

$\exists y \in E, x * y = y * x = e$

$\text{Magma } (G, *) \text{ remplissant les 3 conditions suivantes : }$
$\begin{cases} * \text{ est associative} \\ * \text{ possède un élément neutre} \\ \text{Pour tout } x \in G, x \text{ est symétrisable}\end{cases}$

$\text{Groupe dont la loi de composition interne est commutative}$

$\text{C'est le symétrique de } x$

$\text{C'est le symétrique de } x$

$\begin{cases} H \text{ est stable par } * \\ (H, *) \text{ est un groupe} \end{cases}$

$\forall (x, y) \in G^2, f(x * y) = f(x) ¤ f(y)$

$\text{Morphisme bijectif}$

$\text{Morphisme d'un groupe sur lui-même}$

$\text{Isomorphisme & Endomorphisme}$

$\text{Il existe un isomorphisme d'un groupe sur l'autre}$

$\{x \in G | f(x) = e_G'\}$

$\text{Magmas } (A, +, *) \text{ remplissant les 4 conditions suivantes : }$
$\begin{cases} (A, +) \text{ est un groupe abélien} \\ * \text{ est associative} \\ \text{Pour tout } (x, y, z) \in A^3, x(y + z) = xy + xz \text{ et } (x+y)z = xz + yz \\ * \text{ possède un élément neutre}\end{cases}$

$\text{Anneau } (A, +, *) \text{ dont la loi } * \text{ est commutative}$

$\text{Anneau commutatif tel que : } \forall (a, x, y) \in A^* \times A^2, \begin{cases}ax = ay \implies x = y \\ xa = ya \implies x = y\end{cases}$

$(Inv(A), *)$

$\begin{cases}B \text{ est un sous-groupe de } (A, +) \\ B \text{ est stable par } * \\ 1_A \in B \end{cases}$

$\begin{cases}\forall (x,y) \in A^2, f(x + y) = f(x) + f(y) \\ \forall (x, y) \in A^2, f(x*y) = f(x)*f(y) \\ f(1_A) = 1_B\end{cases}$

$\begin{cases}(K, +, *) \text{ est un anneau commutatif} \\ \forall x \in K^*, x \text{ inversible pour } *\end{cases}$

$\begin{cases}L \text{ est un sous-anneau de l'anneau } (K, +, *) \\ \forall x \in L \setminus \{0_K\}, x^{-1} \in L\end{cases}$

$f \text{ est un morphisme d'anneau de l'anneau } K \text{ sur l'anneau } L$