Opérateurs vectoriels : Gradient et Différentielle

$df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz$

La variation de $f$ lorsqu’on passe du point $M(x,y,z)$ à $M'(x+dx,y+dy,z+dz)$

$\overrightarrow{d\ell}=\overrightarrow{MM'}=dx\,\vec{e}_x+dy\,\vec{e}_y+dz\,\vec{e}_z$

$df=\overrightarrow{\text{grad}}f\cdot\overrightarrow{d\ell}$

$\overrightarrow{\text{grad}}f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z$

La direction et le sens de croissance de $f$ dans l’espace

Elle ne dépend pas de la base vectorielle utilisée (cartésienne, cylindrique ou sphérique)

Une surface définie par l’équation $f(M)=\text{cte}$

$df=\overrightarrow{\text{grad}}f\cdot\overrightarrow{d\ell}=0$

Il leur est normal

Suivant les valeurs croissantes de $f$

$\overrightarrow{d\ell}=dr\,\vec{e}_r+r\,d\theta\,\vec{e}_\theta+dz\,\vec{e}_z$

$\overrightarrow{\text{grad}}f=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{e}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e}_\theta+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z$

$\overrightarrow{\text{grad}}f=\frac{\partial f}{\partial r}\vec{e}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\vec{e}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\vec{e}_\varphi$

Un champ $\vec{A}(M)$ pour lequel il existe une fonction $f$ telle que $\vec{A}(M)=\overrightarrow{\text{grad}}f$

$df=A_xdx+A_ydy+A_zdz$ doit être une différentielle totale

$\frac{\partial A_x}{\partial y}=\frac{\partial A_y}{\partial x}$ ; $\frac{\partial A_x}{\partial z}=\frac{\partial A_z}{\partial x}$ ; $\frac{\partial A_y}{\partial z}=\frac{\partial A_z}{\partial y}$

$\vec{A}(M)=-\overrightarrow{\text{grad}}U(M)$ (attention au signe)

Des surfaces équipotentielles

Normales aux surfaces équipotentielles

À une constante additive près ($U'=U+\text{cte}$ convient aussi)

Des conditions aux limites

Non, car le potentiel ne cesse de décroître le long de la ligne

Elle est conservative : indépendante du chemin suivi entre $M_1$ et $M_2$

$C=U(M_1)-U(M_2)$

$\vec{F}=-\overrightarrow{\text{grad}}E_p$

$P(z)=P_0\exp\left(-\frac{Mgz}{RT}\right)$

$\vec{F}=m\omega^2 r\,\vec{e}_r$

$\text{div}\vec{A}=\lim_{d\tau\to0}\frac{\Phi_\tau}{d\tau}=\lim_{d\tau\to0}\frac{\oiint_{S_\tau}\vec{A}\cdot d\vec{S}}{d\tau}$

Le flux du champ par unité de volume au voisinage d’un point

Positif

Négatif ou nul

$\text{div}\vec{A}=0\Leftrightarrow\vec{A}$ est à flux conservatif

$\oiint_S\vec{A}\cdot d\vec{S}=\iiint_V\text{div}\vec{A}\,d\tau$

Une intégrale de surface (flux à travers une surface fermée) en intégrale volumique

$\text{div}\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

$\text{div}\vec{A}=\frac{1}{r}\frac{\partial(rA_r)}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial A_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$

$\text{div}\vec{A}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2A_r)}{\partial r}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta A_\theta)}{\partial\theta}+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial\varphi}$

$d\tau=dx\,dy\,dz$

$dS_1=dx\,dy$ ; $dS_2=dx\,dz$ ; $dS_3=dy\,dz$

$\vec{v}(r)=v_{max}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)\vec{e}_z$

$\oint_\Gamma\vec{A}\cdot d\vec{\ell}=\iint_S\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}\cdot d\vec{S}$

La circulation de $\vec{A}$ le long de $\Gamma$ est égale au flux de $\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}$ à travers $S$

Une intégrale curviligne en intégrale de surface

Directement par rapport au sens du contour $\Gamma$

Le plan dans lequel $\vec{A}$ tourne le plus

Un champ vérifiant $\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}=\vec{0}$ en tout point de l’espace

$\vec{0}$

Car la circulation de $\overrightarrow{\text{grad}}f$ sur tout contour fermé est nulle

Il existe un potentiel scalaire $f$ tel que $\vec{A}=\overrightarrow{\text{grad}}f$

$0$

$\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)\vec{e}_x+\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)\vec{e}_y+\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)\vec{e}_z$

$\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}=\left(\frac{1}{r}\frac{\partial A_z}{\partial\theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial z}\right)\vec{e}_r+\left(\frac{\partial A_r}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial r}\right)\vec{e}_\theta+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right)\vec{e}_z$

$\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}=\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial(\sin\theta A_\varphi)}{\partial\theta}-\frac{\partial A_\theta}{\partial\varphi}\right)\vec{e}_r+\frac{1}{r}\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial\varphi}-\frac{\partial(rA_\varphi)}{\partial r}\right)\vec{e}_\theta+\frac{1}{r}\left(\frac{\partial(rA_\theta)}{\partial r}-\frac{\partial A_r}{\partial\theta}\right)\vec{e}_\varphi$

$\vec{v}=\Omega r\,\vec{e}_\theta$

$\vec{v}=\frac{\Omega R^2}{r}\vec{e}_\theta$

$\Delta f=\text{div}(\overrightarrow{\text{grad}}f)$

$\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

$\Delta f=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial\theta^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}$

$\Delta f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 f}{\partial\varphi^2}$

$\Delta\vec{A}=\overrightarrow{\text{grad}}(\text{div}\vec{A})-\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A})$

$\Delta\vec{A}=\Delta A_x\vec{e}_x+\Delta A_y\vec{e}_y+\Delta A_z\vec{e}_z$

Revenir à la définition $\overrightarrow{\text{grad}}(\text{div}\vec{A})-\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A})$

$\Delta\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$

$\vec{E}=E_0\sin\left(\frac{\pi z}{a}\right)\cos(\omega t-kx)\vec{e}_y$

$\vec{\nabla}=\vec{e}_x\frac{\partial}{\partial x}+\vec{e}_y\frac{\partial}{\partial y}+\vec{e}_z\frac{\partial}{\partial z}$

Uniquement en coordonnées cartésiennes

$\overrightarrow{\text{grad}}f=\vec{\nabla}f$

$\text{div}\vec{A}=\vec{\nabla}\cdot\vec{A}$

$\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}=\vec{\nabla}\wedge\vec{A}$

$\Delta f=\nabla^2 f=\vec{\nabla}\cdot\vec{\nabla}f$

$\Delta\vec{A}=\nabla^2\vec{A}$

$\vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\wedge\vec{A})=0$

$\vec{\nabla}\wedge(\vec{\nabla}f)=\vec{0}$

$\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A})=\overrightarrow{\text{grad}}(\text{div}\vec{A})-\Delta\vec{A}$

$f\,\overrightarrow{\text{grad}}g+g\,\overrightarrow{\text{grad}}f$

$f\,\text{div}\vec{A}+\vec{A}\cdot\overrightarrow{\text{grad}}f$

$\vec{B}\cdot\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}-\vec{A}\cdot\overrightarrow{\text{rot}}\vec{B}$

$f\,\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}+\overrightarrow{\text{grad}}f\wedge\vec{A}$