4V(X+Y)
V(X)+V(Y) seulement si X et Y sont indépendantes
5Définition de la variable aléatoire moyenne $M_n$
$(X_1,X_2,...,X_n)$ variables aléatoires qui suivent la même loi que X
$M_n=\dfrac{X_1+X_+2...+X_n}{n}$
7$V(M_n)$
$\frac{V(X)}{n}$
8écart type $\sigma(M_n)$
$\frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$
9E(X) où X suit la loi binomiale de paramètres n et p
np
10V(X) où X suit la loi binomiale de paramètres n et p
np(1-p)
11définition de $E(X)$ où X est une variable aléatoire qui suit une loi quelconque
$E(X)=x_1 \times p(X=x_1)+x_2 \times p(X=x_2)+...+x_n \times p(X=x_n)$
12Définition de $V(X)$
$V(X)=P(X=x_1) \times (x_1-E(X))^2+P(X=x_2) \times (x_2-E(X))^2+...+P(X=x_n) \times (x_n-E(X))^2$
13Majorer $P\left(\left|X-E(X)\right|\geq a\right)$
$P\left(\left|X-E(X)\right|\geq a\right)\leq \dfrac{V(X)}{a^2}$
14Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
$P\left(\left|X-E(X)\right|\geq a\right)\leq \dfrac{V(X)}{a^2}$
15Majorer $P\left(\left|M_n-E(X)\right|\geq a\right)$
$P\left(\left|M_n-E(X)\right|\geq a\right)\leq \dfrac{V(X)}{na^2}$
16Inégalité de concentration
$P\left(\left|M_n-E(X)\right|\geq a\right)\leq \dfrac{V(X)}{na^2}$
17Loi des grands nombres
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} P\left(\left|M_n-\mu\right|\geq a\right)=0 $
18Lorsque X est une variable aléatoire et $a$ un réel strictement positif, quelle information portant sur $P\left(\left|X-E(X)\right| < a\right)$ peut-on obtenir à partir de Bienaymé-Tchebychev?
$P\left(\left|X-E(X)\right| < a\right)=1-P\left(\left|X-E(X)\right|\geq a\right)$ or $P\left(\left|X-E(X)\right|\geq a\right)\leq \dfrac{V(X)}{a^2}$
donc en multipliant par -1 et en ajoutant 1 on obtient :
$P\left(\left|X-E(X)\right| < a\right) \geq 1-\dfrac{V(X)}{a^2}$
19On choisit au hasard une personne d'une population d'actifs dont le salaire mensuel moyen est égal à 2350 € et la variance à 410. Pourquoi l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de majorer la probabilité que le salaire de cette personne soit inférieur à 1970 € ou supérieur à 2730 €?
2350-1970=2730-2350=380 donc Bienaymé-Tchebychev s'écrit :
$P\left(\left|X-2350\right|\geq 380\right)\leq \dfrac{V(X)}{380^2}$
20On choisit au hasard une personne d'une population d'actifs dont le salaire mensuel moyen est égal à 2350 € et la variance à 410. Pourquoi l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de minorer la probabilité que le salaire de cette personne soit compris entre 1970 € et 2730 €?
$1970<X<2730 \Leftrightarrow -380<X-2350<380 \Leftrightarrow \left|(X-2350)\right|<380$
Donc à l'aide de Bienaymé-Tchebychev, $P(\left|(X-2350)\right|<380) \geq 1-\dfrac{V(X)}{380^2}$
21$E(M_n)=0,4$ et $V(M_n)=0,24$. Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour que $P(\left|M_n-0,4\right|\geq 0,1) \leq 0,2$
$P(\left|M_n-0,4\right|\geq 0,1)\leq \dfrac{0,24}{n \times 0,1^2}$
on cherche n tel que $ \dfrac{0,24}{n \times 0,1^2} \leq 0,2$
on obtient $n \geq 120$