Cinématique des fluides - Chapitre 3
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1
Quel état regroupe l’état fluide ?
L’état liquide et l’état gazeux
2
Distance entre particules dans un gaz (P et T ambiantes) ?
Très supérieure à la taille d’une particule
3
Distance entre particules dans un liquide ?
De l’ordre de la taille d’une particule
4
Densité particulaire d’un gaz ?
\$n^* \approx 10^{25}\ \mathrm{m^{-3}}\$
5
Densité particulaire d’un liquide ?
\$n^* \approx 10^{28}\ \mathrm{m^{-3}}\$
6
Masse volumique d’un gaz (ordre de grandeur) ?
\$ho \approx 1\ \mathrm{kg.m^{-3}}\$
7
Masse volumique d’un liquide (ordre de grandeur) ?
\$ho \approx 1000\ \mathrm{kg.m^{-3}}\$
8
Définition du coefficient de compressibilité isotherme ?
\$\chi_T = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial P}ight)_T\$
9
Ordre de grandeur de \$\chi_T\$ pour un gaz ?
\$\chi_T \approx 10^{-5}\ \mathrm{Pa^{-1}}\$
10
Ordre de grandeur de \$\chi_T\$ pour un liquide ?
\$\chi_T \approx 5.10^{-10}\ \mathrm{Pa^{-1}}\$
11
Adjectifs qualifiant un gaz ?
Désordonné, dispersé
12
Adjectifs qualifiant un liquide ?
Désordonné, condensé
13
Définition du libre parcours moyen \$\ell\$ ?
Distance moyenne parcourue par une molécule de fluide entre deux chocs successifs
14
Analogie du libre parcours moyen ?
La distance moyenne parcourue par une auto-tamponneuse de foire entre deux chocs
15
Comparaison de \$\ell\$ à la taille d’une molécule dans un gaz ?
\$\ell\$ est très grand devant la taille d’une molécule
16
Comparaison de \$\ell\$ à la taille d’une molécule dans un liquide ?
\$\ell\$ est de l’ordre de la taille d’une molécule
17
Ordre de grandeur de \$\ell\$ dans un liquide ?
Quelques dixièmes de nm
18
Ordre de grandeur de \$\ell\$ dans un gaz à T et P ambiantes ?
100 nm
19
Par quelle longueur est caractérisée l’échelle microscopique ?
Le libre parcours moyen \$\ell\$
20
Comment apparaît un fluide à l’échelle microscopique ?
Comme un milieu discontinu, on distingue les molécules
21
Par quelle longueur est caractérisée l’échelle macroscopique ?
Une longueur \$L\$ du système étudié (diamètre d’un tuyau, profondeur d’un fleuve)
22
Par quelle longueur est caractérisée l’échelle mésoscopique ?
Une distance \$d\$ intermédiaire entre \$\ell\$ et \$L\$
23
Relation entre les trois échelles ?
\$\ell \ll d \ll L\$
24
Comment apparaît un fluide aux échelles mésoscopique et macroscopique ?
Comme un milieu continu
25
Qu’est-ce qu’une particule de fluide ?
Un système fermé déformable de masse constante et de taille mésoscopique
26
Ordre de grandeur du volume d’une particule de fluide ?
\$\mu\mathrm{m}^3\$
27
Nombre moyen de molécules dans une particule de fluide gazeux ?
Environ \$10^7\$
28
Nombre moyen de molécules dans une particule de fluide liquide ?
Environ 1000 fois plus que dans un gaz
29
Quelle hypothèse permet de définir P et T pour chaque particule de fluide ?
L’hypothèse d’équilibre thermodynamique local
30
Quelles grandeurs locales supposées continues associe-t-on aux particules ?
Température, pression, masse volumique et vitesse
31
Comment est défini le vecteur vitesse d’une particule de fluide ?
Comme la moyenne statistique des vitesses des molécules qui la constituent
32
Quand un fluide est-il en équilibre à l’échelle macroscopique ?
Quand toutes ses particules ont une vitesse nulle
33
Quel domaine étudie un fluide en équilibre ?
La statique des fluides
34
Qu’étudie-t-on dans le point de vue de Lagrange ?
Une particule de fluide que l’on suit au cours de son mouvement
35
Qu’étudie-t-on dans le point de vue d’Euler ?
Des champs scalaires et vectoriels définis en tout point de l’écoulement
36
Dans la description lagrangienne, comment caractérise-t-on chaque particule \$i\$ ?
Par sa position \$\vec{R}_{i,0}\$ à un instant \$t_0\$
37
Pourquoi la description lagrangienne complète est-elle exclue en pratique ?
Il faudrait connaître les positions initiales de toutes les particules et les suivre toutes
38
Exemples de points de vue lagrangiens ?
Un pêcheur regardant dériver une feuille ; un gendarme qui suit une voiture donnée
39
Exemples de points de vue eulériens ?
Un pêcheur regardant un point du cours d’eau ; un gendarme posté sur un pont
40
Dans la description eulérienne, que dit-on des variables d’espace et de temps ?
Elles sont indépendantes
41
En un point M fixe, à quelles particules le vecteur vitesse \$\vec{v}(M,t)\$ correspond-il ?
Aux différentes particules qui passent successivement en M
42
Illustration du point de vue lagrangien dans le peloton ?
On suit le maillot jaune
43
Illustration du point de vue eulérien dans le peloton ?
On observe localement les propriétés du peloton
44
Définition de la trajectoire d’une particule de fluide ?
L’ensemble des positions successives qu’elle occupe au cours du temps
45
Définition d’une ligne de courant ?
Une courbe orientée tangente en tout point au vecteur vitesse et de même sens
46
Équation des lignes de courant à l’instant \$t_0\$ ?
\$\vec{v}(M,t_0) \wedge d\vec{\ell} = \vec{0}\$
47
Équation des lignes de courant en cartésien ?
\$\frac{dx}{v_x(x,y,z,t_0)}=\frac{dy}{v_y(x,y,z,t_0)}=\frac{dz}{v_z(x,y,z,t_0)}\$
48
Définition d’une ligne d’émission ?
L’ensemble des positions des particules de fluide passées par un point donné (point d’émission de traceurs)
49
Comment visualise-t-on une ligne d’émission ?
Par une coloration de longue durée en un point du fluide et en filmant l’écoulement
50
Quel concept est associé à la description lagrangienne ?
La trajectoire
51
Quel concept est associé à la description eulérienne ?
La ligne de courant
52
Définition d’un écoulement stationnaire ?
Un écoulement dont les champs sont indépendants du temps dans le référentiel considéré
53
Conséquence d’un écoulement stationnaire sur les lignes ?
Lignes de courant et trajectoires sont confondues
54
Dans un écoulement stationnaire, la vitesse d’une particule reste-t-elle constante ?
Non, elle varie si le champ des vitesses n’est pas uniforme
55
Dans la phase stationnaire de l’exemple de la fumée, que dire des trois lignes ?
Ligne de courant, trajectoire et ligne d’émission se superposent
56
Définition de la dérivée particulaire de \$f\$ ?
La dérivée par rapport au temps de \$f(M,t)\$ attachée à la particule qui coïncide avec M à l’instant \$t\$
57
Expression de la dérivée particulaire ?
\$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial t}+\vec{v}.\overrightarrow{\mathrm{grad}}f\$
58
Autre notation de la dérivée particulaire ?
\$\frac{Df}{Dt}\$
59
Nom du terme \$\vec{v}.\overrightarrow{\mathrm{grad}}f\$ ?
- Dérivée convective (ou advective)
- Dérivée locale
- Dérivée stationnaire
60
Nom du terme \$\frac{\partial f}{\partial t}\$ ?
- Dérivée locale
- Dérivée convective
- Dérivée particulaire
61
Origine de la dérivée convective ?
Le déplacement de la particule dans un champ de \$f\$ non uniforme
62
Origine de la dérivée locale ?
La seule dépendance temporelle du champ \$f\$
63
Définition d’un écoulement incompressible ?
Les particules de fluide gardent un volume constant au cours de leur mouvement
64
Condition sur la masse volumique d’une particule en écoulement incompressible ?
\$\frac{d\mu}{dt}=0\$
65
Pourquoi \$\frac{d\mu}{dt}=0\$ en écoulement incompressible ?
La masse est constante (système fermé) et le volume aussi, donc \$\mu\$ est constante
66
Les écoulements d’eau sont-ils considérés comme incompressibles ?
Oui, car l’eau est quasiment incompressible
67
Quand l’écoulement d’un gaz autour d’un obstacle est-il quasi incompressible ?
Quand il est largement subsonique dans le référentiel de l’obstacle
68
Propriété admise sur la vitesse caractéristique pour un écoulement incompressible ?
Elle est négligeable devant la vitesse de propagation du son dans le fluide
69
Que devient \$\mathrm{div}\,\vec{v}\$ à des vitesses proches de celle du son ?
Elle est non nulle, l’écoulement n’est pas incompressible
70
Définition du débit volumique \$D_v\$ ?
Le volume de fluide qui traverse une surface orientée \$S\$ par unité de temps
71
Unité SI du débit volumique ?
\$\mathrm{m^3.s^{-1}}\$
72
Expression du débit volumique ?
\$D_v=\iint_S \vec{v}(M,t).d\vec{S}\$
73
Expression générale d’un vecteur densité de courant ?
\$\vec{j}=\$ (densité volumique de la grandeur transportée) \$\times\ \vec{v}\$
74
Vecteur densité de courant de volume ?
\$\vec{j}_v=\vec{v}\$
75
Ordre de grandeur du débit volumique de la Seine ?
\$D_v \approx 80\ \mathrm{m^3.s^{-1}}\$
76
Ordre de grandeur du débit volumique d’un robinet domestique ?
Environ 10 L/min, soit \$2.10^{-4}\ \mathrm{m^3.s^{-1}}\$
77
Définition du débit massique \$D_m\$ ?
La masse de fluide qui traverse une surface orientée \$S\$ par unité de temps
78
Unité SI du débit massique ?
\$\mathrm{kg.s^{-1}}\$
79
Vecteur densité de courant de masse ?
\$\vec{j}_m=\mu\vec{v}\$
80
Expression du débit massique ?
\$D_m=\iint_S \mu(M,t)\vec{v}(M,t).d\vec{S}\$
81
Débit massique d’un fluide incompressible et homogène ?
\$D_m=\mu D_v\$
82
Condition aux limites au contact d’un solide ?
La composante normale de la vitesse du fluide par rapport à l’obstacle est nulle
83
Dans quel référentiel la composante normale de la vitesse est-elle nulle au contact d’un solide ?
Dans le référentiel de l’obstacle
84
Condition à l’interface entre deux fluides non miscibles ?
Continuité de la composante normale de la vitesse
85
Sur quelle distance un obstacle perturbe-t-il l’écoulement ?
Des distances de l’ordre de sa taille caractéristique
86
Équation locale de conservation de la masse ?
\$\frac{\partial\mu}{\partial t}+\mathrm{div}\,\vec{j}_m=0\$ avec \$\vec{j}_m=\mu\vec{v}\$
87
Que dire du vecteur densité de masse en écoulement stationnaire ?
Il est à flux conservatif car \$\frac{\partial\mu}{\partial t}=0\$
88
Propriété fondamentale en écoulement stationnaire ?
Conservation du débit massique à travers toute section d’un même tube de courant
89
La conservation du débit massique en stationnaire dépend-elle de l’incompressibilité ?
Non, elle est indépendante du caractère incompressible
90
Relation de conservation du débit massique dans un tube de courant stationnaire ?
\$\mu_1S_1v_1=\mu_2S_2v_2\$
91
Que signifie \$\mathrm{div}\,\vec{v}>0\$ pour une particule de fluide (système fermé) ?
Une dilatation de la particule
92
Que signifie \$\mathrm{div}\,\vec{v}<0\$ pour une particule de fluide ?
Une contraction du volume
93
Que signifie \$\mathrm{div}\,\vec{v}=0\$ pour une particule de fluide ?
Son volume se conserve (déformation possible)
94
Généralisation admise sur la divergence du champ des vitesses ?
\$\mathrm{div}\,\vec{v}=\frac{1}{V}\frac{dV}{dt}\$
95
Propriété d’un écoulement à divergence nulle ?
C’est un écoulement incompressible
96
Une particule de fluide en écoulement incompressible peut-elle se déformer ?
Oui, mais elle garde un volume constant
97
Un fluide compressible peut-il être en écoulement incompressible ?
Oui
98
Un fluide incompressible est toujours en écoulement incompressible ; la réciproque est-elle vraie ?
Non, la réciproque n’est pas toujours vraie
99
Condition pour qu’un fluide soit incompressible ?
\$\chi_T=0\$
100
Propriété fondamentale du débit volumique en écoulement incompressible ?
Le débit volumique est le même à travers toute section d’un même tube de courant
101
Débit volumique pour un écoulement uniforme sur la section ?
\$D_v=v.S=cte(t)\$
102
Relation entre deux sections d’un tube de courant incompressible ?
\$v_AS_A=v_BS_B\$
103
Pourquoi le jet d’eau d’un robinet se rétrécit-il ?
La gravité augmente la vitesse de l’eau, donc la section diminue pour conserver \$D_v\$
104
Expression de l’accélération particulaire ?
\$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}.\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v}\$
105
Expression de \$(\vec{v}.\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v}\$ en fonction des composantes ?
\$v_x\frac{\partial\vec{v}}{\partial x}+v_y\frac{\partial\vec{v}}{\partial y}+v_z\frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\$
106
Relation admise pour l’accélération convective ?
\$(\vec{v}.\overrightarrow{\mathrm{grad}})\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{grad}}\frac{v^2}{2}+(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{v})\wedge\vec{v}\$
107
Autre forme de l’accélération particulaire avec le rotationnel ?
\$\vec{a}=\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\overrightarrow{\mathrm{grad}}\frac{v^2}{2}+(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\vec{v})\wedge\vec{v}\$
108
En régime stationnaire, quel terme de l’accélération s’annule ?
Seulement l’accélération locale, pas \$\frac{d\vec{v}}{dt}\$
109
Interprétation de \$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{v}\neq\vec{0}\$ ?
Le champ des vitesses tourne autour des zones où son rotationnel est non nul
110
Définition du vecteur tourbillon ?
\$\vec{\Omega}(M,t)=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{v}(M,t)\$
111
Quand un écoulement est-il dit tourbillonnaire ?
Si \$\vec{\Omega}\neq\vec{0}\$ au moins en un point
112
Quand un écoulement est-il dit irrotationnel ?
Si \$\vec{\Omega}=\vec{0}\$ en tout point
113
Écoulement irrotationnel : que peut-on dire du champ des vitesses ?
Il dérive d’un potentiel des vitesses : \$\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,\Phi\$
114
Nom d’un écoulement irrotationnel avec potentiel des vitesses ?
Écoulement potentiel
115
Le potentiel des vitesses \$\Phi\$ est défini à quoi près ?
À une constante près
116
Modèle de la tornade : rotationnel de la vitesse ?
\$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{v}=A\vec{e}_z=cte\$ pour \$r\le R\$ et \$\vec{0}\$ ailleurs
117
Forme du champ des vitesses du modèle de tornade ?
\$\vec{v}(M)=v(r)\vec{e}_\theta\$
118
Vortex : analogue en magnétostatique ?
Le fil conducteur infini parcouru par un courant \$I\$
119
Condition définissant un vortex à partir de la tornade ?
\$2\Omega\pi R^2=\Gamma=cte\$ avec \$R\to0\$ et \$\Omega\to\infty\$
120
Un vortex est-il physiquement réalisable ?
Non, c’est un modèle
121
Pour un écoulement incompressible et irrotationnel, que valent \$\mathrm{div}\,\vec{v}\$ et \$\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{v}\$ ?
Les deux sont nuls
122
Équation vérifiée par le potentiel des vitesses (incompressible et irrotationnel) ?
\$\Delta\Phi=0\$, l’équation de Laplace
123
Le caractère stationnaire dépend-il du référentiel ?
Oui
124
Le caractère incompressible dépend-il du référentiel ?
Non, il est indépendant du référentiel
125
Le caractère tourbillonnaire dépend-il du référentiel ?
Oui
126
Champ de vitesses d’un fluide en rotation uniforme dans le référentiel du bécher tournant ?
Nul
127
Loi de vitesses du fluide en rotation uniforme dans le référentiel du laboratoire ?
\$\vec{v}(M)=\Omega r\vec{e}_\theta\$ (solide tournant)
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