Variables aléatoires - Loi des grands nombres

Question 1

E(X+Y)

Accepted Answer

E(X)+E(Y)

Question 2

E(aX)

Accepted Answer

aE(X)

Question 3

V(aX)

Accepted Answer

$a^2V(X)$

Question 4

V(X+Y)

Accepted Answer

V(X)+V(Y) seulement si X et Y sont indépendantes

Question 5

Définition de la variable aléatoire moyenne $M_n$

Accepted Answer

$(X_1,X_2,...,X_n)$ variables aléatoires qui suivent la même loi que X $M_n=\dfrac{X_1+X_+2...+X_n}{n}$

Question 6

$E(M_n)$

Accepted Answer

E(X)

Question 7

$V(M_n)$

Accepted Answer

$\frac{V(X)}{n}$

Question 8

écart type $\sigma(M_n)$

Accepted Answer

$\frac{\sigma(X)}{\sqrt{n}}$

Question 9

E(X) où X suit la loi binomiale de paramètres n et p

Accepted Answer

np

Question 10

V(X) où X suit la loi binomiale de paramètres n et p

Accepted Answer

np(1-p)

Question 11

définition de $E(X)$ où X est une variable aléatoire qui suit une loi quelconque

Accepted Answer

$E(X)=x_1 	imes p(X=x_1)+x_2 	imes p(X=x_2)+...+x_n 	imes p(X=x_n)$

Question 12

Définition de $V(X)$

Accepted Answer

$V(X)=P(X=x_1) 	imes (x_1-E(X))^2+P(X=x_2) 	imes (x_2-E(X))^2+...+P(X=x_n) 	imes (x_n-E(X))^2$

Question 13

Majorer $P\left(\left|X-E(X)\right|\geq a\right)$

Accepted Answer

$P\left(\left|X-E(X)\right|\geq a\right)\leq \dfrac{V(X)}{a^2}$

Question 14

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Accepted Answer

$P\left(\left|X-E(X)\right|\geq a\right)\leq \dfrac{V(X)}{a^2}$

Question 15

Majorer $P\left(\left|M_n-E(X)\right|\geq a\right)$

Accepted Answer

$P\left(\left|M_n-E(X)\right|\geq a\right)\leq \dfrac{V(X)}{na^2}$

Question 16

Inégalité de concentration

Accepted Answer

$P\left(\left|M_n-E(X)\right|\geq a\right)\leq \dfrac{V(X)}{na^2}$

Question 17

Loi des grands nombres

Accepted Answer

$\displaystyle \lim_{n 	o +\infty} P\left(\left|M_n-\muight|\geq aight)=0 $

Question 18

Lorsque X est une variable aléatoire et $a$ un réel strictement positif, quelle information portant sur $P\left(\left|X-E(X)\right| < a\right)$ peut-on obtenir à partir de Bienaymé-Tchebychev?

Accepted Answer

$P\left(\left|X-E(X)\right| < a\right)=1-P\left(\left|X-E(X)\right|\geq a\right)$ or $P\left(\left|X-E(X)\right|\geq a\right)\leq \dfrac{V(X)}{a^2}$
donc en multipliant par -1 et en ajoutant 1 on obtient :
$P\left(\left|X-E(X)\right| < a\right) \geq 1-\dfrac{V(X)}{a^2}$

Question 19

On choisit au hasard une personne d'une population d'actifs dont le salaire mensuel moyen est égal à 2350 € et la variance à 410. Pourquoi l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de majorer la probabilité que le salaire de cette personne soit inférieur à 1970 € ou supérieur à 2730 €?

Accepted Answer

2350-1970=2730-2350=380 donc Bienaymé-Tchebychev s'écrit : $P\left(\left|X-2350\right|\geq 380\right)\leq \dfrac{V(X)}{380^2}$

Question 20

On choisit au hasard une personne d'une population d'actifs dont le salaire mensuel moyen est égal à 2350 € et la variance à 410. Pourquoi l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet de minorer la probabilité que le salaire de cette personne soit compris entre 1970 € et 2730 €?

Accepted Answer

$1970<X<2730 \Leftrightarrow -380<X-2350<380 \Leftrightarrow \left|(X-2350)\right|<380$ Donc à l'aide de Bienaymé-Tchebychev, $P(\left|(X-2350)\right|<380) \geq 1-\dfrac{V(X)}{380^2}$

Question 21

$E(M_n)=0,4$ et $V(M_n)=0,24$. Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour que $P(\left|M_n-0,4\right|\geq 0,1) \leq 0,2$

Accepted Answer

$P(\left|M_n-0,4ight|\geq 0,1)\leq \dfrac{0,24}{n 	imes 0,1^2}$ on cherche n tel que $ \dfrac{0,24}{n 	imes 0,1^2} \leq 0,2$ on obtient $n \geq 120$

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