Probabilités
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1
A quelles conditions la variable aléatoire X suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n,p)$?
1) Epreuve de Bernoulli (à deux issues succès ou échec), de succès S de probabilité $p$
2) On répète $n$ fois de façon identique et indépendante l'épreuve de Bernoulli
3) La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit a loi binomiale $\mathscr{B}(n,p)$
2) On répète $n$ fois de façon identique et indépendante l'épreuve de Bernoulli
3) La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit a loi binomiale $\mathscr{B}(n,p)$
2
$P(X=k)$ avec X suit $\mathscr{B}(n,p)$?
$P(X=k)=\displaystyle \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
3
$E(X)$ avec X suit $\mathscr{B}(n,p)$
$E(x)=np$
4
$V(X)$ et $\sigma(X)$ avec X suit $\mathscr{B}(n,p)$
$V(X)=np(1-p)$
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
5
Probabilité de A sachant B
$P_B(A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$
6
A et B indépendants ?
$A$ et $B$ indépendants
$\iff P(A\cap B) =P(A)\times P(B)$
$\iff P_A(B) =P(B)$
$\iff P_B(A) =P(A)$
$\iff P(A\cap B) =P(A)\times P(B)$
$\iff P_A(B) =P(B)$
$\iff P_B(A) =P(A)$
7
probabilités totales
$\{A_1,\, A_2,\, \ldots , \, A_n \}$ formant une partition de $\Omega$ :
$P(B) =P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+\cdots+P(A_n\cap B)$
$P(B) =P(A_1\cap B)+P(A_2\cap B)+\cdots+P(A_n\cap B)$
8
Arbre de probabilités
9
Loi de probabilité d'une variable aléatoire X (quelconque)
10
Espérance (= Gain moyen) d'une variable aléatoire X (quelconque)
$E(X) =\sum\limits_{i=1}^nx_iP(X =x_i)$