Géométrie dans l'espace

Si 3 vecteurs sont dans le même plan, on dit qu'ils sont coplanaires (si et seulement si la famille est liée)

B est une base, tout vecteur de R3 est combinaison linéaire unique

Soit B=(e1,e2,e3), R=(0,B), M(a,b,c), OM s'écrit a e1+b e2+c e3

u=(u.e1)e1+(u.e2)e2+(u.e3)e3

||u^v||=||u||*||v||*sin(u,v)
Il est anti-symétrique, u^v=-v^u et bilinéaire (distributivité)
coordonnée:
(yz'-zy')
(zx'-xz')
(xy'-yx')

det(u,v,w)=(u^v).w
Il est asymétrique, det(u,v,w)=-det(u,w,v), trilinéaire
Il sert à calculer le volume d'un parallélipède (seulement sa valeur absolue)
Si det(u,v,w)=0, alors les 3 vecteurs sont coplanaires

1) Par 3 points non alignés (chercher s'ils sont coplainaires)
2) Par 1 point et 2 vecteurs directeurs (chercher s'ils sont coplainaires)
3) Par 1 point et 1 vecteurs normales (chercher s'ils sont orthogonaux)

On a 3 cas:
1)si det(n,n')=0 et les coefficients des équations sont proportionnels entre eux alors P et P' sont les mêmes plans
2) si det(n,n')=0 et les coefficients ne sont pas proportionnels alors P et P' sont parallèles, non confondus
3) si det(n,n')≠0, l'intersection entre P et P' est une droite

Elle n'a pas d'équation cartésienne, elle a un système de 2 équations cartésienne avec des coefficients non proportionnels

2 droites sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux
Et en si elles sont en plus sécantes, elles sont parallèles

Soit le point A et le vecteur directeur u(∝βδ) passant par la droite D
x=xa+∝t
y=ya+βt
z=za+δt où t E R
Ce qui veux dire M E D<=>AM=tu

1)Représentation paramétrique de la droite
2)On injecte les inconnues dans l'équation cartésienne du plan

D'un point sur un plan : définir une droite, puis faire sa représentation paramétrique et l'injecter dans l'équation du plan

D'un point sur une droite : même chose en supposant que le vecteur directeur des 2 droites sont orthogonales

ΩM=R
Savoir déterminé l'équation à l'aide du centre et du rayon et inversement

Sphère droite : représentation paramétrique de la droite qu'on injecte dans l'équation de la sphère
Soit 2 intersection, soit une soit aucune

Sphère plan : faire un projeté du centre de la sphère sur le plan puis calculer ΩM pour savoir la nature de l'intersection (un point, un cercle, le vide) enfin calculer son rayon avec Pythagore