1Comment démontrer à partir des équations paramétriques de droites qu'elles son sécantes?
On note différemment les paramètres dans chaque équation (t et t') , on résout le système (3 équations 2 inconnues t et t') et on montre qu'il existe un seul couple (t,t') solution. On remplace t ou t' par la valeur trouvée pour obtenir les coordonnées du point d'intersection.
2Comment démontrer que deux droites de l'espace sont orthogonales?
On montre que leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Si les deux droites sont de plus sécantes alors elles sont perpendiculaires
3Soit D : $\begin{cases}
x=2t-1\\
y=-2t+3\\
z=-t+2
\end{cases}$
Donner les coordonnées d'un point et d'un vecteur directeur
$A(-1;3;2)$ et $\vec{u}(2;-2;-1)$
4$A(8;-4;7)$ appartient-il à D : $\begin{cases}
x=2t-1\\
y=-2t+3\\
z=-t+2
\end{cases}$
On cherche s'il existe un réel $t$ tel que$\begin{cases}
8=2t-1\\
-4=-2t+3\\
7=-t+2
\end{cases}$
On obtient
$\begin{cases}
t=4,5\\
t=3,5\\
t=-5
\end{cases}$
$A \notin D$
5Comment démontrer que A, B et C sont alignés?
On montre que $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ sont colinéaires
6Comment démontrer que deux droites sont parallèles (avec ou sans coordonnées)
Si deux plans sont parallèles tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles (dans un cube ou un pavé droit)
On utilise le théorème du toit (y penser dans un tétraèdre)
7Comment démontrer que deux droites ne sont pas coplanaires
On montre qu'elles ne sont ni parallèles (vecteurs directeurs non colinéaires) ni sécantes (le système obtenu avec les équations des deux droites n'a pas de solution)
8Comment montrer que 4 points A, B, C et D sont coplanaires?
On montre par exemple que $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+k'\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
9Définition de $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ coplanaires?
$\vec{w}=k\vec{u}+k'\vec{v}$
On peut trouver des représentants de es vecteurs qui ont origine et extrémité dans le même plan
10Comment à partir des équations cartésiennes de deux plans $P_1$ et $P_2$ prouver qu'ils sont parallèles?
On montre que $\vec{n_1}$ normal à $P_1$ et $\vec{n_2}$ normal à $P_2$ sont colinéaires (coordonnées proportionnelles)
11Comment à partir des équations cartésiennes de deux plans $P_1$ et $P_2$ prouver qu'ils sont sécants?
On montre que deux de leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires
12Comment à partir des équations cartésiennes de deux plans $P_1$ et $P_2$ prouver qu'ils sont perpendiculaires?
On montre de deux de leurs vecteurs normaux sont orthogonaux
13Comment déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par A et orthogonale à un plan P de vecteur normal $\vec{n}$?
Cette droite passe par A et a pour vecteur directeur $\vec{n}$
14Comment déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point H sur un plan P de vecteur normal $\vec{n}$?
H est le point d'intersection du plan P et de la droite $\Delta$ perpendiculaire à P passant par H.
On commence par trouver une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ : elle passe par H et a pour vecteur directeur $\vec{n}$
On résout un système : on remplace $x$,$y$ et $z$ dans l'équation du plan par les expressions en fonction de $t$ de la représentation paramétrique de $\Delta$
15Comment démontrer sans coordonnées d'une droite est orthogonale à un plan?
On montre que cette droite est orthogonale à deux droites sécantes du plan
16Comment, à partir des équations cartésiennes de deux plans sécants, déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection?
On résout le système obtenu avec les deux équations de plans en ajoutant une ligne : on pose par exemple $x=t$, et on exprime $y$ et $z$ en fonction de $t$
17Propriété du projeté orthogonal d'un point A sur un plan (ou sur une droite)?
C'est le point du plan (ou de la droite) le plus proche de A: pour tous les autres points du plan (ou de la droite) AM>AH.
AH est la distance du point A au plan (ou à la droite)