Bijection et fonctions réciproques (arccos, arcsin, arctan)

Une fonction est injective de E vers F si tout élément de F admet au plus un antécédent par f dans E

Si f est strictement monotone, sur I à valeur dans J, alors f est injective de I vers J

Une fonction est surjective de E vers F si tout élément de F admet au moins un antécédent par f dans E

f est bijective de E vers F si f est injective et surjective de E vers F (admet un seul et unique antécédent)

On la note f^-1 de F vers E et qui associe un unique antécédent
Pour tout x E E, f^-1(f(x))=x
Pour tout y E F, f(f^-1(y))=y

L'ensemble image est noté f(E) et se trouve grâce au tableau de variation de f

Si f est continue sur I et strictement monotone alors f(I) est un intervalle et f est une bijection de I vers son image J=f(I)
f et f^-1 ont la même monotonie et sont symétrique par rapport à y=x

Si f est dérivable sur I et si pr tt a E I, f'(a)≠0
Alors f^-1 est dérivable sur J et pr tt y E J: (f^-1)'(y)=1/f'(f^-1(y))

1) définir f(x)
2) restreindre le domaine de définition pour que f soit bijective
3) calculer f'(x), si f'=0 alors restreindre entre plus le domaine de définition

Racine carrée est définie sur R+ mais dérivable en R*+
Sa dérivée est 1/2√x et sa réciproque est x²

Elle est définie sur R*+ et dérivable sur R*+
Sa dérivée est 1/x et sa réciproque est exponentielle

Elle est dérivable sur R*+
Sa dérivée est ∝x^∝-1 et sa réciproque est racine n-i ème

Pour ∝>0, β>0:
Lim(+∞) x^∝/exp(βx)=0
Lim(-∞) x*exp(βx)=0
Lim(+∞) ln(x)/x^∝=0
Lim(0+) x^∝*ln(x)=0

Elle est définie en [-1,1], dérivable en]-1,1[, impaire
Arcsin'(x) =1/√1-x²
Pr tt x E [-π/2,π/2] : arcsin(sin(x))=x
Pr tt x E [-1,1] : sin(arcsin(sin(x))=x

Elle est définie sur [-1,1], dérivable sur ]-1,1[
Arccos'(x) = -1/√1-x²
Pr tt x E [0,π] : arccos(cos(x))=x
Pr tt x E [1,-1] : cos(arccos(x))=x

Elle est définie sur R, dérivable sur R, impaire
Arctan'(x) = 1/1+x²
Pr tt x E ]-π/2,π/2[ : arctan(tan(x))=x
Pr tt x E R : tan(arctan(x))=x

Si a E [-1,1], cos(x) = a :
x=Arccos(a) [2π] ou x=-arccos(a) [2π]
sin(x) = a :
x=arcsin(x) [2π] ou x=π-arcsin(x) [2π]
Si b E R, tan(x) = b :
x=arctan(b) [π]