Analyse vectorielle
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1
Donnez la définition du gradient.
On considère deux point M et M' arbitrairement proches, de sorte que .
Si on note df = f(M') - f(M) la différentielle de f, alors est le champ vectoriel tel que :
Si on note df = f(M') - f(M) la différentielle de f, alors est le champ vectoriel tel que :
2
Donnez l'orientation du gradient.
En tout point M de l'espace, le gradient donne la direction de plus forte augmentation de f en partant de ce point M. De plus, est orthogonal aux surfaces iso-f.
3
Donnez l'expression du gradient en coordonnées cartésiennes.
.
On a aussi le gradient de f, étant l'opérateur formel défini par :
On a aussi le gradient de f, étant l'opérateur formel défini par :
4
Définissez la divergence.
Soit un champ vectoriel. En tout point M(x,y,z), on peut écrire en coordonnées cartésiennes :
La divergence de , notée , est le champ scalaire défini par l'expression :
On note parfois la divergence de .
La divergence est un champ scalaire calculé à partir d'un champ vectoriel.
La divergence de , notée , est le champ scalaire défini par l'expression :
On note parfois la divergence de .
La divergence est un champ scalaire calculé à partir d'un champ vectoriel.
5
Donnez le théorème d'Ostogradski.
Soit un champ vectoriel dérivable. Soit (Σ) un surface fermée, délimitant un volume ν. On a alors l'égalité suivante :
Autrement dit, le flux de à travers une surface fermée (Σ), compté sortant, est égal à l'intégrale triple de la divergence de sur le volume v délimité par (Σ).
Autrement dit, le flux de à travers une surface fermée (Σ), compté sortant, est égal à l'intégrale triple de la divergence de sur le volume v délimité par (Σ).
6
Définissez le rotationnel.
Soit un champ vectoriel. En tout point M(x,y,z), on peut écrire en coordonnées cartésiennes :
Le rotationnel de , noté , est le champ vectoriel défini par l'expression :
On note parfois le rotationnel de .
Le rotationnel est un champ vectoriel calculé à partir d'un champ vectoriel.
Le rotationnel de , noté , est le champ vectoriel défini par l'expression :
On note parfois le rotationnel de .
Le rotationnel est un champ vectoriel calculé à partir d'un champ vectoriel.
7
Définissez le théorème de Stokes.
Soit un champ vectoriel dérivable. Soit (Γ) un contour fermé, et soit Σ une surface s'appuyant sur ce contour.
On a alors l'égalité suivante :
Autrement dit, la circulation de sur un contour fermé (Γ) est égale au flux du rotationnel de à travers n'importe quelle surface s'appuyant sur (Γ). Attention : Σ doit être orientée de façon cohérente avec l'orientation de (Γ).
On a alors l'égalité suivante :
Autrement dit, la circulation de sur un contour fermé (Γ) est égale au flux du rotationnel de à travers n'importe quelle surface s'appuyant sur (Γ). Attention : Σ doit être orientée de façon cohérente avec l'orientation de (Γ).
8
Définir le Laplacien scalaire et l'exprimer en coordonnées cartésiennes.
Soit f un champ scalaire de classe C2. On définit le laplacien de f, noté Δf, de la façon suivante :
En coordonnées cartésiennes :
On note parfois le laplacien de f.
En coordonnées cartésiennes :
On note parfois le laplacien de f.
9
Définissez le Laplacien vectoriel.
Soit un champ vectoriel de classe C2. En tout point M(x,y,z), on peut écrire en coordonnées cartésiennes :
On définit le laplacien de , noté , de la façon suivante :
=> Où ΔUx (respectivement ΔUx et ΔUx) est la polulation du champ scalaire Ux (respectivement Uy et Uz).
On note parfois le laplacien de .
On définit le laplacien de , noté , de la façon suivante :
=> Où ΔUx (respectivement ΔUx et ΔUx) est la polulation du champ scalaire Ux (respectivement Uy et Uz).
On note parfois le laplacien de .
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