4. Probabilità

La teoria della probabilità è il fondamento dell'inferenza statistica.
I fenomeni sono "governati" dalle leggi della probabilità.

Un evento è l'elemento di base a cui può essere applicata la probabilità. Un evento è il risultato di un esperimento p òa descrizione di un potenziale risultato.

Eventi possibili: eventi che rappresentano i possibili risultati di un esperimento/osservazione e che pertanto costituiscono lo spazio campione
- Eventi semplici: solo due possibili risultati (es. lancio di una moneta: o testa o croce)
- Eventi composti: più di due possibili risultati (es. lancio di un dado)

Eventi impossibili (o nulli): eventi che non rientrano tra i possibili risultati di un esperimento.

Approccio classico o oggettivista: "probabilità come previsioni derivate da un modello", viene cioè calcolata in seguito ad un ragionamento astratto che descriva in modo semplificato ma esauriente un meccanismo.
Es. lancio di una moneta. Probabilità che il risultato sia testa è dato da 1/2 (modello teorico in cui i due eventi testa e croce sono mutuamente esclusivi e hanno uguale probabilità)
Approccio frequentista: "probabilità basata sui dati", viene calcolata dopo un certo numero n di osservazioni riguardanti l'evento con caratteristica A. Evento A si verifica m volte. Probabilità di A è approssimativamente (tende ad un limite fisso) uguale a m/n. Approccio più utilizzato in biostatistica.

Approccio soggettivista: "probabilità basata sulla fiducia", cioè è una misura del grado di fiducia che un individuo coerente assegna al verificarsi di un dato evento in base alle sue conoscenze.

La probabilità di un evento:
- è un numero positivo compreso tra 0 e 1
$0\leq P(A)\leq 1$

$P(A) = 0$ se A è un evento impossibile
$P (A) = 1$ se A è un evento certo

Possibile eseguire diverse operazioni sugli eventi.
Intersezione: si indica $A \cap B$ ("evento sia A che B")
Unione: si indica $A \cup B$ ("evento o A o B o entrambi").
Complemento: si indica $A^c$ o $\bar{A}$ ("evento non A")

Due eventi A e B che non possono verificarsi contemporaneamente sono definiti disgiunti o mutuamente esclusivi (non esiste intersezione).

Es. Acidosi respiratoria e alcalosi respiratoria

Legge della somma:
Quando due eventi sono mutuamente esclusivi si applica il principio della somma della probabilità ("legge della somma"):
La probabilità del verificarsi dell'uno o dell'altro evento è uguale alla somma delle probabilità di ciascuno dei due eventi:

$P(A\cup B) = P(A) + P (B)$

Se eventi non sono mutuamente esclusivi non si applica la legge della somma.

Es. Reflusso gastroesofageo e patologia cardiaca

In questo caso la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi è data da:
$P(A\cup B) = P(A) + P (B) - P(B\cap A)$

Un evento è detto condizionato se il suo verificarsi dipende da un altro evento: evento A modifica la probabilità di B.
Es. probabilità che un soggetto che ha raggiunto i 60 anni (evento A) raggiunga i 65 anni (evento B dato A).

La notazione $P (B|A)$ si usa per rappresentare la probabilità dell'evento B dato che A si è già verificato.

Il principio del prodotto delle probabilità (legge del prodotto) può essere applicato in questo caso.
La probabilità che si verifichino entrambi gli eventi A e B è uguale alla probabilità di A ($P(A)$) moltiplicato la probabilità di B dato che A si è già verificato ($P(B|A)$).
$P(A \cap B)=P(A)P(B|A)$
Da cui deriva che
$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di uno non ha alcuna influenza sulla probabilità del verificarsi dell'altro.
Il principio del prodotto delle probabilità (legge del prodotto) in questo caso afferma che
la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi è data dal prodotto delle probabilità
$ P(B \cap A) = P(A)P(B)$

NB
Termini "indipendenti" e "mutuamente esclusivi" non hanno il medesimo significato.

Associando ai risultati di un esperimento un valore numerico si costruisce una variabile casuale. Una distribuzione di frequenza mostra ogni risultato osservato e la sua frequenza.
Una variabile casuale può essere:
- discreta: può assumere solo un numero finito e numerabile di risultati
- continua: può assumere qualsiasi valore nell'ambito di un intervallo.

Ogni variabile casuale ha una corrispondente distribuzione di probabilità.
La distribuzione di probabilità applica la teoria della probabilità per descrivere il comportamento di una variabile casuale:
- per variabili discrete: tutti i possibili risultati di una variabile insieme a alla probabilità di ciascun risultato
- per variabili continue: probabilità associate a determinati range di valori

Utilizzabile per variabili qualitative dicotomiche.
Prova di Bernoulli: esperimento che dà luogo a due possibili risultati mutamente esclusivi (la variabile è dicotomica: es. testa o croce)
Processo di Bernoulli: l'esperimento viene ripetuto in sequenza $n$ volte
Sotto le seguendi condizioni:
1. Ogni prova può assumere uno dei due possibili risultati mutuamente esclusivi, uno dei quali è definito arbitrariamente successo e l'altro fallimento
2. La probabilità di successo ($p$) rimane costante in ogni prova, la probabilità di fallimento è denotata con $q=1-p$
3. Le prove sono indipendenti: il risultato di una prova non influenza il risultato della successiva

Coefficiente binomiale $\binom{n}{x}=\frac{n!}{x!(n-x!)}$ con n= numero di prove e x= numero di successi sulle n prove
In questo caso consente di misurare le sequenze che restituiscono un successo, in generale il coefficiente binomiale esprime il numero di combinazioni di n elementi presi x alla volta.

Moltiplicando il numero ottenuto per la probabilità associata alla sequenza $p^xq^{n-x}$ si ottiene la probabilità di avere x successi con n prove.
$P(X=x)= \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}$

Si possono calcolare le misure di sintesi numerica associate a una distribuzione di probabilità.

Media o valore atteso $E(X)=\mu = np$
Varianza $\sigma^2=npq=np(1-p)$

Nascita non gemellare.
Risultati possibili due e mutuamente esclusivi
- F: nascita di un soggetto di sesso femminile
- M: nascita di un soggetto di sesso maschile
Arbitrariamente si definisce F successo e M fallimento. Da cui P(F) = p e P(M)=q=1-p.
Probabilità di successo rimane costante in ogni prova. Prove indipendenti.
Il fenomeno può essere descritto da una distribuzione binomiale.

Si vuole conoscere probabilità con cui si verifica nascita di 5 neonati di sesso femminile (x=5) su 8 nascite (n=8).
Si applica legge del prodotto
$P(F)^5P(M)^3=p^5q^{8-5}$
Mediante il coefficiente binomiale $\binom{n}{x}$ si misura il numero di sequenze tali che x=5 con n=8
Quindi si calcola probabilità associata $f(x)=\binom{n}{x}p^xq^{n-x}$
$\binom{8}{5}=\frac{8!}{5!(8-5)!}=\frac{8!}{5!\cdot 3!}= \frac{1\times2\times 3 \times 4 \times5 \times6 \times 7 \times 8}{(1 \times 2\times3\times4\times5)(1\times2\times3)}=\frac{6 \times7\times 8}{1 \times 2 \times3}=\frac{336}{6}=56$
da cui
$f(x) = 56\cdot p^5q^3$

Un fenomeno può essere descritto da una distribuzione di Poisson se si verificano le seguenti condizioni:
- in un determinato intervallo gli eventi devono accadere in modo indipendente: il verificarsi di un evento in un intervallo di tempo o di spazio non deve influenzare la probabilità del verificarsi di un evento nello stesso intervallo di tempo o spazio
- la probabilità di un evento in un intervallo di tempo $\Delta t$ infinitamente piccolo è direttamente proporzionale alla lunghezza dell'intervallo, dunque molto piccola;
- in una parte infinitamente piccola dell'intervallo la probabilità che più di un evento si verifichi è trascurabile

Detta anche distribuzione di eventi rari: è usata per modellare eventi discreti che si verificano raraemnte nel tempo o nello spazio.

Es. in campo biomedico usata per:
-conta batteri su piastre
- conta golobuli su un vetrino
- numero interventi di urgenza in un mese in un PS

$f(x)= \frac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$
per x=0,1,2,...,$\infty $
$f(x)=0$ altrove

$e=2,7183$
$\lambda$= parametro della distribuzione di Poisson e corrisponde alla media (quindi alla varianza, v.dopo)

$\lambda=\mu=S^2$. Nella distribuzione di Poisson media e varianza coincidono

Considerata una distribuzione binomiale
Se $n\rightarrow \infty$ e se $p \rightarrow 0$ allora la distribuzione è approssimabile a una distribuzione di probabilità di Poisson
$B (n,p) \approx Poisson (\lambda)$

Ricordando che in una distribuzione binomiale $\mu= np$ e $S^2=npq=np(1-p)$ si consideri che $p \rightarrow 0$, per cui media e varianza sono approssimativamente uguali.
In una distribuzione di Poisson media e varianza sono uguali e possono essere rappresentate dall'unico parametro $\lambda$.

Supponiamo di costruire un istogramma sulla base dei risultati di frequenza ottenuti per una variabile casuale quantitativa continua.
Si costruisce il poligono di frequenza unendo i punti medi delle barre.

Se il numero dei valori possibili della variabile continua tende all'infinito e le ampiezze degli intervalli tendono a zero, il grafico della distribuzione di probabilità per una variabile continua si avvicinerà sempre più a una curva adattata (densità di probabilità), descritta da una certa funzione e a cui è sottesa area pari a 1.

La distribuzione normale di Gauss è la distribuzione continua per eccellenza e si trova alla base di molti test di verifica delle ipotesi.

La curva per una distribuzione di probabilità di una variabile con andamento a campana prende il nome di curva normale o gaussiana ed è descritta dalla funzione
$f(x)= \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x -\mu}{\sigma})^2}$
$-\infty\leq x \leq+\infty$
$e$= funzione esponenziale
$\pi = 3,14$
$\mu$ = media
$\sigma$ = deviazione standard

- Simmetrica intorno alla sua media
- Media, mediana e moda coincidono (gli indici di tendenza centrale sono uguali tra loro)
- Area totale sotto la curva è uguale a 1

Area sotto la curva compresa nell'intervallo
- $\mu - \sigma$ e $\mu + \sigma$ è pari al 68% dell'area totale
- $\mu - 2\sigma$ e $\mu + 2 sigma$ è pari al 95% dell'area totale
- $\mu - 3\sigma$ e $\mu + 3 sigma$ è pari al 99,7% del totale

Media della popolazione $\mu$: data dalla media aritmetica, la curva è simmetrica rispetto alla media
Differenti valori di $\mu$ spostano la curva lungo l'asse delle ascisse

Deviazione standard $\sigma$: corrisponde agli scostamenti al quadrato.
Differenti valori di $\sigma$ modificano l'altezza della curva.

Indice di asimmetria: apprezzare se rispetto al valore medio la distribuzione è simmetrica oppure una coda è più lunga dell'altra.

Indice di curtosi: curve appuntite o piatte
curtosi = 3 indica che la curva è normale
se curtosi < 3 la curva è ipernormale o leptocurtica, con alta concentrazione di dati intorno alla media e variabilità molto bassa
se curtosi > 3 la curva è iponormale o platicurtica, con alta dispersione dei dati

Si può pensare che i dati seguano distribuzione di Gauss se i punti della distribuzione cumulativa osservata si distribuiscono in modo tale da presentare un andamento sigmoide e tendono all'unità.

Esiste una famiglia di distribuzioni di Gauss: ogni membro è distinto in base ai valori di $\mu$ e $\sigma$.

Sarebbe impossibile tabulare l'area associata ad ogni singola curva normale. Pertanto è stata tabulata una sola curva, la "più importante":
la curva di Gauss standard.

Tra le varie curve di Gauss la più importante è la distribuzione di Gauss standard che ha
media = 0
deviazione standard = 1

Funzione che descrive una curva di Gauss standard
$\varphi (z)=\frac {e^{-z^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}$

Se il campione è sufficientemente grande, ogni variabile X con distribuzione di Gauss può essere standardizzata ad una distribuzione di Gauss standard mediante la trasformazione

$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$