Chapitre T 4 : Cinématique de fluides en écoulement stationnaire dans une conduite
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1
Hypothèse de départ sur la vitesse .
Nous avons vu dans la statique des fluides que le fluide en repos impliquait : .
Maintenant nous allons nous intéresser au cas ou , le but ici est décrire le mouvement et non de savoir pourquoi le fluide est en mouvement.
Maintenant nous allons nous intéresser au cas ou , le but ici est décrire le mouvement et non de savoir pourquoi le fluide est en mouvement.
2
Comment est repérée la position de la particule de fluide ? Et la vitesse ?
3
Rappel de la vitesse de la particule de fluide : quelle remarque peut-on faire et quelle description utiliser ?
Cette description n'est pas adaptée à l'étude globale d'un écoulement car on voudrait connaître en tout point à un instant t donné.
Et pas seulement en les points situés sur la trajectoire de la particule de fluide pour cela on va utiliser la description eulérienne.
Et pas seulement en les points situés sur la trajectoire de la particule de fluide pour cela on va utiliser la description eulérienne.
4
Définition de la description eulérienne.
On ne suit plus les particules de fluides mais on fait une capture/photo du champ de vitesse à un instant t donné.
Le champ de vitesse est la vitesse du fluide en tout point.
Le champ de vitesse est la vitesse du fluide en tout point.
5
Définition d'un champ de vitesse.
Un champ est une fonction scalaire ou vectorielle de l'espace et du temps.
6
Champ scalaire exemple :
f(x,y,z,t), exemple : T, P et ρ
fonction de
fonction de
7
Champ vectoriel (avec schéma et explicaction) :
Exemple :
: champ électrique
: champ magnétique
: champ de vitesse
Les variables x,y et z sont indépendantes. Ici, on les considère également indépendantes de t.
Lorsqu'on se place en un point (x,y,z) fixé et que l'on laissele temps t s'écouler, on voit passer plusieurs particules de fluide différentes.
Cette approche (eulérienne) est particulièrement adaptée pour faire des bilans thermodynamiques sur l'écoulement. (bilan de masse T4, d'énergie mécanique T5, bilan de Em + U, T6), décrire localement les propriétés du fluide (P, T, ρ ...).
: champ électrique
: champ magnétique
: champ de vitesse
Les variables x,y et z sont indépendantes. Ici, on les considère également indépendantes de t.
Lorsqu'on se place en un point (x,y,z) fixé et que l'on laissele temps t s'écouler, on voit passer plusieurs particules de fluide différentes.
Cette approche (eulérienne) est particulièrement adaptée pour faire des bilans thermodynamiques sur l'écoulement. (bilan de masse T4, d'énergie mécanique T5, bilan de Em + U, T6), décrire localement les propriétés du fluide (P, T, ρ ...).
8
Définition ligne de courant et que peut-on construire à partir du champ des vitesses.
Une ligne de courant est une courbe qui est tangente au champ de vitesse en tout point à l'instant t0 .
9
Si la ligne de courant est dirigée par un vecteur élémentaire que peut-on écrire selon .
en base cartésienne
Ce vecteur doit être colinéaire à :
Ce vecteur doit être colinéaire à :
10
Relation entre
Permet de trouver l'équation des lignes de champ à partir d'un champ de vitesse fourni.
11
Citez quelques illustrations
* Vent en France
* Tuyau qui se resserre
* Aile d'avion
Remarques :
Les lignes de courant définies sont à instant t0 fixé. Donc les particules defluides suivent des trajectoires à priori différentes des lignes de courant.
Par contre dans le cas d'un écoulement stationaire (les lignes de courant sont les mêmes à tout instant), on a que les trajectoires des particules de fluide sont confondus avec les lignes de courant.
* Tuyau qui se resserre
* Aile d'avion
Remarques :
Les lignes de courant définies sont à instant t0 fixé. Donc les particules defluides suivent des trajectoires à priori différentes des lignes de courant.
Par contre dans le cas d'un écoulement stationaire (les lignes de courant sont les mêmes à tout instant), on a que les trajectoires des particules de fluide sont confondus avec les lignes de courant.
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Définition d'un Tube de courant
On considère un contour fermé. En traçant toutes les lignes de courant passant par ce contenu, on obtient un tube de courant.
Pour un écoulement stationnaire, donc les lignes de courant et les tubes de courant ne dépendent plus de t.
Nous nous placerons dans ce cadre pour toute la suite.
Pour un écoulement stationnaire, donc les lignes de courant et les tubes de courant ne dépendent plus de t.
Nous nous placerons dans ce cadre pour toute la suite.
13
Définition cas d'un écoulement stationnaire.
cas stationnaire : les champs scalaires et vectoriels ne dépendent plus du temps.
14
Définition du débit massique.
Le débit massique se définit à travers une certaine surface par :
: masse de fluide qui traverse la surface considérée durant dt en kg
: s
: kg.s-1
En général, la surface considérée est la section d'un tube de champ.
: masse de fluide qui traverse la surface considérée durant dt en kg
: s
: kg.s-1
En général, la surface considérée est la section d'un tube de champ.
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Expression du débit massique.
Preuve en cours avec
: volume de ce cylindre
: volume de ce cylindre
16
Expression générale du débit massique à travers .
avec :
: en kg.m-3
: en m.s-1
: en m2
: en kg.m-3
: en m.s-1
: en m2
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Remarque sur l'expression générale du débit massique à travers .
* Si l'écoulement est incompressible, est uniforme et on a alors :
* Si de plus, le champ devitesse est uniforme et perpendiculaire à la surface .
--> donc
=>
=>
avec : qui est l'aire de
* Si de plus, le champ devitesse est uniforme et perpendiculaire à la surface .
--> donc
=>
=>
avec : qui est l'aire de
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Cas d'un écoulement stationnaire conservation de Dm.
Preuve
Conclusion :
Pour un écoulement stationnaire, le débit massique est le même à travers toute section d'un tube de courant. On dit que Dm est conservé.
Conclusion :
Pour un écoulement stationnaire, le débit massique est le même à travers toute section d'un tube de courant. On dit que Dm est conservé.
19
Définition débit volumique.
Elle est analogue à celle de Dm le ébit volumique Dv à travers une surface est définie par :
avec :
en m3.s-1
: volume du fluide traversant la surface considérée durant dt en m3
en s
avec :
en m3.s-1
: volume du fluide traversant la surface considérée durant dt en m3
en s
20
Expression générale du débit volumique. + remarques
Preuve
à travers une surface finie, le débit volumique est donc donnée par :
Remarques :
* pour un écoulement incompressible,
=>
=>
* Si est uniforme sur la surface et perpendiculaire à
<=> // , alors
: aire de la surface
à travers une surface finie, le débit volumique est donc donnée par :
Remarques :
* pour un écoulement incompressible,
=>
=>
* Si est uniforme sur la surface et perpendiculaire à
<=> // , alors
: aire de la surface
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Cas d'un écoulement stationnaire et incompressible : conservation de Dv.
* écoulement stationnaire
=>
* écoulement incompressible
=>
or écoulement incompressible
=> uniforme sur tout le fluide.
=>
On en déduit donc que :
Conclusion :
Pour un écoulement stationnaire et incompressible, le débit volumique est le même à travers toutes les sections d'un même tube de champ.
=> conservation de Dv
=>
* écoulement incompressible
=>
or écoulement incompressible
=> uniforme sur tout le fluide.
=>
On en déduit donc que :
Conclusion :
Pour un écoulement stationnaire et incompressible, le débit volumique est le même à travers toutes les sections d'un même tube de champ.
=> conservation de Dv
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Définition de l'écho-doppler
On mesure la vitesse d'écoulement du sang le long d'une artère et on en déduit lévolution de la section de l'artère.
23
Hypothèses de l'écho-doppler avec l'exemple de l'artère.
L'écoulement du sang est supposé stationnaire et incompressible.
+ la vitesse du sang est supposée uniforme sur chaque section de l'artère.
v uniforme
écoulement stationnaire + incompressible => Dv conservé :
=>
=>
=>
> 1
or
donc
et
donc
En mesurant v le long de l'artère, on a donc accès à l'évolution de la section
+ la vitesse du sang est supposée uniforme sur chaque section de l'artère.
v uniforme
écoulement stationnaire + incompressible => Dv conservé :
=>
=>
=>
> 1
or
donc
et
donc
En mesurant v le long de l'artère, on a donc accès à l'évolution de la section
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