Chapitre T 4 : Cinématique de fluides en écoulement stationnaire dans une conduite

Nous avons vu dans la statique des fluides que le fluide en repos impliquait : .

Maintenant nous allons nous intéresser au cas ou , le but ici est décrire le mouvement et non de savoir pourquoi le fluide est en mouvement.

Cette description n'est pas adaptée à l'étude globale d'un écoulement car on voudrait connaître en tout point à un instant t donné.
Et pas seulement en les points situés sur la trajectoire de la particule de fluide pour cela on va utiliser la description eulérienne.

On ne suit plus les particules de fluides mais on fait une capture/photo du champ de vitesse à un instant t donné.

Le champ de vitesse est la vitesse du fluide en tout point.

Un champ est une fonction scalaire ou vectorielle de l'espace et du temps.

f(x,y,z,t), exemple : T, P et ρ
fonction de

Exemple :

: champ électrique
: champ magnétique
: champ de vitesse

Les variables x,y et z sont indépendantes. Ici, on les considère également indépendantes de t.
Lorsqu'on se place en un point (x,y,z) fixé et que l'on laissele temps t s'écouler, on voit passer plusieurs particules de fluide différentes.

Cette approche (eulérienne) est particulièrement adaptée pour faire des bilans thermodynamiques sur l'écoulement. (bilan de masse T4, d'énergie mécanique T5, bilan de Em + U, T6), décrire localement les propriétés du fluide (P, T, ρ ...).

Une ligne de courant est une courbe qui est tangente au champ de vitesse en tout point à l'instant t0 .

en base cartésienne

Ce vecteur doit être colinéaire à :

Permet de trouver l'équation des lignes de champ à partir d'un champ de vitesse fourni.

* Vent en France
* Tuyau qui se resserre
* Aile d'avion

Remarques :

Les lignes de courant définies sont à instant t0 fixé. Donc les particules defluides suivent des trajectoires à priori différentes des lignes de courant.
Par contre dans le cas d'un écoulement stationaire (les lignes de courant sont les mêmes à tout instant), on a que les trajectoires des particules de fluide sont confondus avec les lignes de courant.

On considère un contour fermé. En traçant toutes les lignes de courant passant par ce contenu, on obtient un tube de courant.

Pour un écoulement stationnaire, donc les lignes de courant et les tubes de courant ne dépendent plus de t.
Nous nous placerons dans ce cadre pour toute la suite.

cas stationnaire : les champs scalaires et vectoriels ne dépendent plus du temps.

Le débit massique se définit à travers une certaine surface par :

: masse de fluide qui traverse la surface considérée durant dt en kg
: s
: kg.s-1

En général, la surface considérée est la section d'un tube de champ.

Preuve en cours avec
: volume de ce cylindre

avec :
: en kg.m-3
: en m.s-1
: en m2

* Si l'écoulement est incompressible, est uniforme et on a alors :

* Si de plus, le champ devitesse est uniforme et perpendiculaire à la surface .
--> donc

=>
=>
avec : qui est l'aire de

Preuve

Conclusion :

Pour un écoulement stationnaire, le débit massique est le même à travers toute section d'un tube de courant. On dit que Dm est conservé.

Elle est analogue à celle de Dm le ébit volumique Dv à travers une surface est définie par :

avec :

en m3.s-1
: volume du fluide traversant la surface considérée durant dt en m3
en s

Preuve

à travers une surface finie, le débit volumique est donc donnée par :

Remarques :

* pour un écoulement incompressible,

=>
=>

* Si est uniforme sur la surface et perpendiculaire à
<=> // , alors

: aire de la surface

* écoulement stationnaire
=>

* écoulement incompressible

=>
or écoulement incompressible
=> uniforme sur tout le fluide.
=>

On en déduit donc que :

Conclusion :

Pour un écoulement stationnaire et incompressible, le débit volumique est le même à travers toutes les sections d'un même tube de champ.
=> conservation de Dv

On mesure la vitesse d'écoulement du sang le long d'une artère et on en déduit lévolution de la section de l'artère.

L'écoulement du sang est supposé stationnaire et incompressible.
+ la vitesse du sang est supposée uniforme sur chaque section de l'artère.
v uniforme
écoulement stationnaire + incompressible => Dv conservé :
=>
=>

=>
> 1
or
donc
et
donc

En mesurant v le long de l'artère, on a donc accès à l'évolution de la section