8.Verifica ipotesi. Proporzioni

Se la variabile oggetto di indagine è una variabile qualitativa, si lavora in termini di proporzioni.

Es. da una popolazione si estrae un campione di 300 elementi di cui 123 affetti da una certa malattia. La proporzione di soggetti malati è 123/300=0,41
$P$ è la proporzione della popolazione
$\hat{p}$ "p stimati" è la proporzione nel campione

Assunzioni:
- variabile che conta il numero di successi sul numero delle prove segue una distribuzione binomiale
- Se $n \rightarrow \infty$ e $p \rightarrow 0,5$, è possibile approssimare una distribuzione binomiale a una distribuzione di Gauss

Ipotesi
$H_0: p = p_0$ con $p_0 =0,5$
la proporzione nella popolazione da cui è estratto il campione è uguale alla proporzione nella popolazione di riferimento
$H_1: p \neq p_0$
la proporzione nella popolazione da cui è estratto il campione è diversa

Fomula generica di statistica test z
$z = \frac {variabile - media}{deviazione standard}$

In questo caso l'espressione diventa
$z = \frac {x - np_0 - 1/2}{\sqrt{np_0(1-p_0)}}=\frac{x -np_0 -1/2}{\sqrt{np_0q_0}}$
-1/2 è un fattore di correzione: la variabile è discreta

Dopo aver calcolato il valore della statistica test z, si procede confrontandolo con i valori di z tabulati per $\alpha/2$ (ricorda che ipotesi alternativa è bidirezionale e che nella tavola è riportato valore di $\alpha$ per una coda)

Es. si considerano due campioni: uno di pazienti trattati con una terapia, uno di pazienti trattati con un'altra terapia.

Assunzioni
- Campioni indipendenti
- Variabile relativa all'evento successo (n° di guariti) sul totale di soggetti trattati è una variabile qualitativa quindi ha distribuzione binomiale
- Risultano valide le condizioni $n \rightarrow \infty$ e $p \cong 0,5$ quindi la distribuzione binomiale si può approssimare a una distribuzione di Gauss
-> questo è fondamentale perché si possa utilizzare metodo parametrico
Ipotesi
$H_0: p_1 = p_2$ da cui $p_1 - p_2 = 0$
$H_1: p_1 \neq p_2$

$z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)- (p_1-p_2)}{\sqrt{\hat{p} (1-\hat{p})(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}$
Poiché per l'ipotesi nulla si assume $p_1 - p_2 = 0$
$z = \frac{(\hat{p}_1 - \hat{p}_2)}{\sqrt{\hat{p} (1-\hat{p})(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}$
$\hat{p}$ è la proporzione stimata ed è una proporzione cumulativa:
$\hat{p}=\frac{X_1+X_2}{n_1+n_2}$ con $X_1$= casi favorevoli del primo gruppo e $X_2$ = casi favorevoli del secondo gruppo

Dopo aver calcolato il valore della statistica test z, si confronta con il valore di z tabulato

Assunzioni
- Campioni indipendenti
- La variabile è qualitativa ma in questo caso la distribuzione binomiale non è approssimabile a una distribuzione gaussiana

Ipotesi statistiche
$H_0: p_1=p_2$
$H_1: p_1 \neq p_2$

Tabella 2x2: ci sono due variabili e ciascuna variabile ha due livelli. Le righe della tabella rappresentano i risultati di una variabile e le colonne i risultati dell'altra.
(di solito è comodo inserire nelle colonne il tipo di trattamento)

$\chi^2=\frac{N(ad - bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

Se a<5 o b<5 o c<5 o d<5 o N<30, si utilizza la Correzione per la continuità di Yates:
$\chi^2= \frac{N(\left | ad-bc \right |-0,5N)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

Dopo aver calcolato $\chi^2_{calcolato}$ si confronta con $\chi^2_{tab}$, che in caso di tabella 2x2 va ricercato in corrispondenza di g.l.=1

Nel caso di tabelle di contingenza 2 x k (variabili qualitative dicotomiche con k gruppi a confronto), il test $\chi^2$ può essere usato per verificare
$H_0: p_1 = p_2 = ... = p_k = p$
$H_1: p_r \neq p_s $

La statistica test diventa
$\chi^2= \sum_{ij}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$ ha una distribuzione $\chi^2$ con k-1 gradi di libertà
v. anche in seguito

Si possono genericamente distinguere due casi:
- Relazione tra variabili qualitative (o quantitative divise in classi) -> Tabelle di contingenza
- Relazione tra variabili quantitative -> Regressione e correlazione

L'ipotesi da verificare in questo caso è:
$H_0$= indipendenza
$H_1$= dipendenza
I dati possono essere riassunti all'interno di una tabella di frequenza a doppia entrata, detta tabella di contingenza caratterizzata da $r$ righe e $c$ colonne
Ogni elemento nella tabella viene indicato come $O_{ij}$
Il primo pedice ($i$) indica il numero di riga, il secondo pedice ($j$) indica il numero di colonna.

Assunzioni
Le variabili di cui disponiamo sono qualitative.
Considerando una singola cella si può assumere una distribuzione binomiale (rappresenta il successo su un certo numero N di prove).
I dati in tabella nel loro insieme seguono una distribuzione multinomiale.
Ipotesi
$H_0: p_{ij}= p_i \times p_j$
con $ p_{ij}$ = probabilità di una cella
$p_i$ = probabilità di riga
$p_j$ = probabilità di colonna
Perché? Ricordando dal capitolo delle probabilità: dati due eventi A e B tra loro indipendenti, la probabilità che essi si verifichino contemporaneamente è data dalla legge del prodotto $P(B\cap A) = P(A) \cdot P(B)$
$H_1: p_{ij} \neq p_i \times p_j$

Si costruisce la tabella dei valori attesi inserendo in ogni cella
$E_{ij}= \frac{n_in_j}{N}$

Dimostrazione:
In ogni cella vi è una distribuzione binomiale.
Nella distribuzione binomiale la frequenza di un valore è data da $n \cdot p$, possiamo affermare che il valore atteso in ogni cella è $E_{ij}=N \cdot p_{ij}$
Data per vera l'ipotesi nulla (la verifica di ipotesi si conduce "sotto ipotesi nulla"), $p_{ij}=p_ip_j$.
Pertanto $E_{ij}=N \cdot p_i \cdot p_j$
Sostituendo $p_i= \frac{n_i}{N}$ e $p_j=\frac{n_j}{N}$
Si ha $E_{ij}=N \cdot \frac{n_i}{N} \cdot \frac{n_j}{N}=\frac{n_in_j}{N}$

In una tabella che ha $r$ righe e $c$ colonne, non è necessario tutti gli $r \cdot c$ elementi, ma basta calcolarne $(r-1)(c-1)$
$(r-1)(c-1)$ rappresenta i gradi di libertà della tabella.

Si procede con l'esecuzione della statistica test $\chi^2$
$\chi^2= \sum \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}$

Se nella tabella dei valori attesi <5 o se $N$ è molto piccolo, si impiega la correzione per la continuità di Yates:
$\chi^2= \sum \frac{(|O_{ij}-E_{ij}|-0,5N)^2}{E_{ij}}$

Dopo aver calcolato $\chi^2_{calcolato}$, si confronta con $\chi^2_{tab}$.
Se minore -> zona di accettazione
Se maggiore -> zona di rifiuto
Ricordare che in questo caso g.l.=(r-1)(c-1)

Il test di McNemar si utilizza per variabili qualitative (proporzioni) in campioni appaiati. Si sottopone un elemento al giudizio di due sistemi diversi: il senso di questo test sta nella ricerca della ripetibilità e riproducibilità di una misura (es. esame obiettivo sul fegato o più in generale qualunque procedura operatore-dipendente).

Assunzioni:
- campioni appaiati
- variabile dicotomica
- dati categorici

Ipotesi statistische
Le ipotesi statistiche si costruiscono sulle frequenze marginali. Le coppie concordanti non forniscono alcuna informazione. Ci concentriamo sulle coppie discordanti per testare l'ipotesi nulla.
Premesso che $p_{sì1}=\frac{a}{a+c}$
$H_0$: le frequenze marginali sono uguali
$H_1$: le frequenze marginali sono diverse

Il test viene condotto sulla diagonale di discordanza
$Q=\frac{(|b-c|-1)^2}{b+c}$

Il risultato così ottenuto va confrontato con il risultato tabulato di $\chi^2$. Posto $\alpha=0,05$, si cerca sulla tavola $\chi^2$ il valore tabulato per $g.l.=(r-1)(c-1)$

Se $Q>\chi^2$ e quindi il valore calcolato si alloca nella zona di rifiuto, si può rifiutare ipotesi nulla, accettare ipotesi alternativa. -> Decisione clinica: la procedura considerata ha bassa concordanza

Permette di disporre di un indice descrittivo del grado di concordanza tra due sistemi (es. due medici che eseguono lo stesso esame obiettivo).

Indice K ha un valore massimo di 1: se tende a uno, i due sistemi di giudizio tendono alla massima concordanza.
Indice K ha una valore minimo di -1: se tende a -1 si può pensare a un fenomeno di "concordanza nella discordanza".

Se k tende a 0, la concordanza è solo legata all'effetto del caso.

Nelle pubblicazioni in genere si fa riferimento sia al risultato del test di McNemar, sia all'indice di Cohen. Nel caso in cui quest'ultimo sia molto alto, spesso viene omesso il risultato del test di McNemar.

1. Si determina la percentuale di risultati concordanti $I_o$
$I_o=\frac{(a+d)}{N}$
2. Si determina il valore atteso di concordanza $I_e$
$I_e=\frac{[(a+b)(a+c)] + [(b+d)(c+d)]}{N^2}$
3. Determino k
$k = \frac {I_o - I_e}{1-I_e}$

Nel caso di una tabella $2 \cdot k$, nel caso in cui:
1) una variabile è dicotomica ($2$ possibili valori)
2) l'altra è una variabile qualitativa ordinale con $k$ modalità
allora può nascere l'esigenza, se si rifiuta $H_0$ e si conclude che le proporzioni non sono uguali, di studiare se esiste un trend (un andamento), da verificare con un secondo test, appunto $\chi^2$ per il trend.

In altre parole: è possibile valutare il trend solo se l'ipotesi nulla del $\chi^2$ generale (ipotesi nulla di uguaglianza della proporzione) viene rifiutata e se la variabile di cui si sta esplorando il ruolo è categorica e ordinale

Alla variabile ordinale si attribuiscono punteggi fittizi arbitrari (generalmente da -n a +n, simmetrici, per comodità).

Dopo aver calcolato il valore $\chi_{lin}^2$, si confronta con il valore tabulato per $\alpha=0,05$ e g.d.l.= 1. Ricordare che il trend ha gradi di libertà =1 (v.dopo)

Si può "smembrare" il $\chi^2$ generale in due componenti:
- componente lineare, legata all'esistenza del trend (si calcola con la statistica test $\chi_{lin}^2$
- componente residua non lineare (deviazione dalla linearità), legata alla variabilità, non spiegata dal trend della variabile in studio