deck importé

Racines d'une équation du second degré avec $\Delta < 0$ (en posant $\delta = i\sqrt{|\Delta|}$) ; $z_1 = \frac{-b + \delta}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b - \delta}{2a}$

Somme et produit des racines d'une équation du second degré ; $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$ et $z_1 \times z_2 = \frac{c}{a}$

Propriétés de l'argument

$\arg(\bar{z})$ et $\arg(-z)$ ; $\arg(\bar{z}) = -\arg(z) \pmod{2\pi}$ et $\arg(-z) = \arg(z) + \pi \pmod{2\pi}$

Définition de l'exponentielle imaginaire pure ; $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$

Égalité de deux exponentielles imaginaires pures ; $e^{ix} = e^{iy} \iff x = y \pmod{2\pi}$

Formule d'Euler pour $\cos(a)$ ; $\cos(a) = \frac{e^{ia} + e^{-ia}}{2}$

Formule d'Euler pour $\sin(a)$ ; $\sin(a) = \frac{e^{ia} - e^{-ia}}{2i}$

Factorisation par l'arc moitié

$e^{ix} + e^{iy}$ ; $e^{ix} + e^{iy} = 2\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)e^{i\frac{x+y}{2}}$

Factorisation par l'arc moitié

$e^{ix} - e^{iy}$ ; $e^{ix} - e^{iy} = 2i\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)e^{i\frac{x+y}{2}}$

Formule de Moivre ; $(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos(nx) + i\sin(nx)$ (soit $(e^{ix})^n = e^{inx}$)

Conjugué d'un nombre complexe sous forme polaire $z = \rho e^{i\theta}$ ; $\bar{z} = \rho e^{-i\theta}$

Racines nièmes d'un nombre complexe $z = \rho e^{i\theta}$ ; $z = \rho^{1/n} e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}}$ pour $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$

Expression de $\exp(z)$ avec $z = x + iy$ ; $\exp(z) = e^x (\cos(y) + i\sin(y)) = e^x e^{iy}$

Disque fermé de centre $a$ et de rayon $R$ ; $\{z \in \mathbb{C} \mid |z - a| \leq R\}$

Disque ouvert de centre $a$ et de rayon $R$ ; $\{z \in \mathbb{C} \mid |z - a| < R\}$

Cercle de centre $a$ et de rayon $R$ ; $\{z \in \mathbb{C} \mid |z - a| = R\}$