Mathématiques : Lois de composition interne

$\forall x,y,z\in E,\ (x\star y)\star z = x\star(y\star z)$

$\forall x,y\in E,\ x\star y = y\star x$

$\exists e\in E,\ \forall x\in E,\ x\star e = e\star x = x$

$\exists y\in E,\ x\star y = y\star x = e$

il est unique, on le note e

il est unique, on le note souvent $x^{-1}

Un groupe est un couple (G, $\star$) où G est un ensemble non vide et $\star$) une loi interne vérifiant :

1) $\star$ est associative
2) $\star$ admet un neutre e
3) et tout élément $x \in G$ admet un inverse pour $\star$

Soit (G, $\star$) un groupe. On dit qu’un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de G si :

1) La partie H contient le neutre : $e\ in H$
2) la partie H est stable par $\sta/g\gr$ : $\forall x,y\in H,\ (x\star y)\in H$
3) La partie H est stable par inverse : $\forall x\in H,\ x^{-1}\in H$

Pour montrer qu’un ensemble muni d’une loi est un groupe, de demander d’abord si ça n’est pas un sous-groupe d’un groupe connu

$H_1\cap H_2$ est lui aussi un sous-groupe de G.