1Formel für die elektromagnetische Schwingung im idealen (= ungedämpften) Schwingkreis
Thomson’sche Schwingungsgleichung: T = 2π * wurzel(LC)
2Formel für “klein omega” ω
ω = 2π / T = 1 / wurzel (LC)
3Was gilt noch?
Der Energieerhaltungssatz: 1/2 L I0 ^2 = 1/2 C U0^2 (jeweils 0 tiefergestellt)
4Formel für die maximale Stromstärke
I0 = C * U0 * ω = U0 * wurzel (C/L) (jeweils 0 tiefergestellt)
5Was müssen wir für die Differenzialgleichung der Schwingung im idealen Schwingkreis wissen / uns merken?
I = ΔQ / Δt = Q (Q mit Punkt oben drauf); U = Q / C; es gilt der Energieerhaltungssatz Eges = 1/2 L I ^2 + 1/2 C U ^2 = 1/2 L * (ΔQ/Δt)^2 + 1/2 C * (Q/C)^2
6Was kommt am Ende dieser ersten Differenzialgleichung raus?
Q (mit 2 Punkten oben drauf) = -ω^2 * Q
7Was ist das Endresultat der Differenzialgleichung? (=Ladungsfunktion des idealen Schwingkreis)
Q(t) = Q0 * cos (ωt) (0 tiefer gestellt) mit ω^2 = 1 / LC
8Was lässt sich daraus für die Formel des Spannungsverlaufs folgern (was ist die Formel dafür)?
U = U0 * cos(ωt) (0 tiefer gestellt)
9Was lässt sich daraus für die Formel des Stromverlaufs folgern? (was ist die Formel dafür)?
I = -I0 * sin(ωt)
10Was lässt sich daraus für die Formel der Periodendauer folgern? (was ist die Formel dafür)?
T = 2π * wurzel (LC)
11Was lässt sich über das Verhältnis zwischen R und der Dämpfung des gedämpften Schwingkreises sagen?
Je größer der Widerstand R ist, desto stärker ist der Schwingkreis gedämpft
12Was ist die Grundvoraussetzung für den gedämpften Schwingkreis?
UL + UR + UC = 0 (L, R, C tiefergestellt)
13Was ist noch wichtig zu wissen? (wegen Vorzeichen)
Regel von Lenz wird hier nicht angewendet, deswegen fällt das Minus bei UL (L tiefergestellt) weg
14Welche Formel folgt schlussendlich daraus? und welche Weitere brauchen wor noch.
L * Q (mit 2 Punkten) + R * Q (mit 1 Punkt) + Q/C = 0; Q = Q0 * e^(λt) mit λ< 0 (muss negativ sein, weil Abklingvorgang)
15Was gilt für Q (mit 1 Punkt) und Q (mit 2 Punkten)
Q (1 Punkt) = λ* Q; Q (2 Punkte) = λ^2 * Q
16Was ist unsere Formel nachdem alles eingesetzt ist? λ1/2 (1/2 tiefer gestellt)
λ1 (1 tiefer gestellt) = -δ+ wurzel (δ^2 - ω ^2); λ2 (2 tiefer gestellt) = -δ- wurzel (δ^2 - ω ^2)
17Fallunterscheidung (3 Fälle) nach Diskriminante wurzel (δ^2 - ω ^2): aperiodisch (= keine Amplitude, schwingt nicht)
18Fallunterscheidung (3 Fälle) nach Diskriminante wurzel (δ^2 - ω ^2): Kriechfall (starke Dämpfung)
19Fallunterscheidung (3 Fälle) nach Diskriminante wurzel (δ^2 - ω ^2): Schwingfall (schwache Dämpfung)
20Formel für den kritischen Widerstand
Rkrit = 2 * wurzel (L/C)
21Wie lässt sich δ aus Rkrit herleiten
δ= Rkrit / 2L
22Formel, die man braucht um die im Kondensator gespeicherte Energie zu einem bestimmten Zeitpunkt zu berechnen
Ec (t) = 1/2 CU0^2 * cos^2 (ωt)
23Definition von Eigenschwingung (Kap. 24)
Eine freie Schwingung oder Eigenschwingung eines schwingungsfähigen Systems (z.B. Federpendel oder Schwingkreis)
erfolgt ohne Einwirkung von außen. Also ohne eine äußere Kraft oder eine äußere Spannung. Das System schwingt dann mit der Eigen-Kreisfrequenz ω0 (0 tiefergestellt)
24Wie entsteht eine erzwungene Schwingung?
Durch eine äußere periodische Anregung (Kraft oder anliegende Spannung) der Kreisfrequenz ωwird das schwingungsfähige System zu “erzwungenen Schwingungen” mit gleicher Kreisfrequenz ωangeregt.
25Wann schwingt das System (angeregt mit erzwungener Schwingung) stabil?
Erst nach einer gewissen “Einschwingzeit” schwingt es stabil. Stabil heißt, dass das System mit gleichbleibender Amplitude und Frequenz schwingt.
26Wie stehen die Dämpfung und die Amplitude in Beziehung?
Je größer die Dämpfung, desto kleiner die Amplitude (und anders herum).
27Wenn man den Graph der Schwingung in ein ωAnr (Anr tiefergestellt) - Amplituden Diagramm einzeichnen müsste, wie schaut der Graph aus?
Der Graph steigt erst und fällt dann wieder, wobei der höchste Punkt (die Amplitude) bei ω0 (0 tiefergestellt) ist.
Graph schaut ungefähr so aus wie ein nach oben hin sehr spitz zulaufender Hut
28Was ist Resonanz und wie entsteht eine Resonanzkatastrophe?
Resonanz ist, wenn die Anregungsfrequenz (ωAnr) und die Eigenfrequenz (ω0) eines schwingungsfähigen Systems ungefähr gleich ist. Dabei kommt es zu sehr hohen Amplituden. Wenn Resonanz auftritt, dann kann es aufgrund der (zu) hohen Amplituden zur Zerstörung des Systems kommen, wie bspw. bei der Tacoma Narrows Brücke zu sehen war.
29Wie kann man solche Resonanzkatastrophen vermeiden (bzw. die Wahrscheinlichkeit verringern, dass es zu einer kommt)?
Indem man Bauwerke wie Brücken oder Hochhäuser entsprechend dämpft. Ein anderes Beispiel wäre auch eine Waschmaschine, in deren Boden sich Ziegelsteine finden, um ihre Masse zu erhöhen (Wer schonmal eine Waschmaschine ausm Keller hochtragen musste, der weiß jetzt, warum des Ding so scheiße schwer war). Die würde sonst nämlich auch durchs ganze Haus “wandern”.
30Was ist für den Phasenverlauf der erzwungenen Schwingung zu erwarten, wenn ωAnr << ω0 (Anregungsfrequenz viel kleiner als Eigenfrequenz des Systems)
Fast kein Phasenunterschied, die beiden Schwingungen sind fast in Phase (= schwingen sozusagen gleichzeitig)
31Was ist für den Phasenverlauf der erzwungenen Schwingung zu erwarten, wenn ωAnr >> ω0 (Anregungsfrequenz viel größer als Eigenfrequenz des Systems)
Ein Phasenunterschied von ungefähr 180° bzw π. Die erzwungene Schwingung hinkt der Anregung um π hinterher.
32Was ist für den Phasenverlauf der erzwungenen Schwingung zu erwarten, wenn ωAnr ≈ω0 (Anregungsfrequenz ungefähr gleich wie Eigenfrequenz des Systems)
Ein Phasenunterschied von ungefähr 90° bzw π/2. Die erzwungene Schwingung hinkt der Anregung um π/2 hinterher.
33Wie sind die Anregung und Reaktion von der Frequenz abhängig?
für ωAnr <<ω0: Anregung und Reaktion sind amplitudengleich und die Schwinungen sind in Phase (ΔΦ = 0).
für ωAnr ≈ω0: Amplitude der Reaktion ist größer als die der Anregung, Reaktion erfolgt π/2, also 1/4T später.
für ωAnr >>ω0: Amplitude der Reaktion ist kleiner als die der Anregung, Reaktion erfolgt π, also 1/2T später. (= gegenphasige Schwingung)
34Wie schauen die Graphen aus?
für ωAnr <<ω0: Graph der Anregung und Reaktion sind der standard-Sinus, die beiden Graphen liegen übereinander
für ωAnr ≈ω0: Graph der Anregung ist der standard-Sinus, Graph der Reaktion ist ein -cos mit der doppelten Amplitude, (der von den „Bergen“ her weiter rechts läuft).
für ωAnr >>ω0: Graph der Anregung ist der standard-Sinus, Graph der Reaktion ist ein -sin mit der halben Amplitude, der gegenphasig schwingt (also genauso wie der Graph der Anregung, aber an der x-Achse gespiegelt)
35Was ist induktive Koppelung (beim elektromagnetischen Schwingkreis) und wofür braucht man sie?
Man regt den elektromagnetischen Schwingkreis zu erzwungenen Schwingungen an, die induktive Kopplung ist praktisch gesehen wie ein trafo zwischen den 2 Teilen eines Schwingkreises. Der 1. Teil ist ein Stromkreis mit der Netzspannung U0 (0 tiefergestellt), dieser führt zu einer Spule, neben der noch eine Spule steht (wie ein Trafo), welche dann den Stromkreis weiterführt zu einem Kondensator und einem Widerstand. Am Kondensator hängt (parallel dazu geschalten) noch ein Voltmeter, um die Spannung UC (C tiefergestellt) zu messen, die am Kondensator abfällt.
36Wie verläuft der Graph des Phasenunterschieds bei größer werdendem Widerstand R (Widerstand wird jeweils durch einen höheren R ersetzt.)?
Der Graph im f - ΔΦ -Diagramm verläuft vom Ursprung (0|0) aus nach rechts oben. Alle Graphen schneiden sich in einem Punkt (bei der Eigenfrequenzω0, auf Höhe von π/2). Je höher der Widerstand, desto flacher verläuft der Graph, desto kleiner ist ΔΦ max und desto geringer ist die Steigung im Punkt wo sich alle Graphen schneiden. Die Graphen verlaufen zudem noch punktsymmetrisch zu diesem Punkt, wo sie sich schneiden (schaut zumindest so aus). Noch was: Die Graphen verlaufen alle wie ein nach links gedrehter -tan(x).
37Cheatcode zum Zeichnen von diesen Graphen mit der Parabelschablone
Wenn ihr eure Parabelschablone so dreht, dass die gerade Kante rechts ist, und sie dann umdreht (sodass die Schrift darauf spiegelverkehrt ist, aber die gerade Kante immernoch rechts ist), dann wisst ihr wie der graph von der Form her ausschaut.