Applications linéaires

f est une application linéaire si:
Pr tt u et v dans E, f(λu+µv)=λf(u)+µf(v)
L(E,F) est l'ensemble des applications linéaires de E vers F
Si f est linéaire de E vers F alors f(0E)=0F

C'est une application linéaire de E vers E

C'est un endomorphisme de E bijectif

C'est une application linéaire bijective

Toute combinaison linéaire de 2 application linéaires est linéaire
L(E,F) est un K-espace vectoriel
La composée de 2 application linéaires est linéaire
Si f E L(E,F) et g E L(F,G)
Alors gof est définie sur E et est linéaire de E vers G

Si f est un isomorphisme de E vers F
Si g est un isomorphisme de F vers G
Alors gof est un isomorphisme de E vers G et (gof)^-1=f^-1*og^-1

Si f est un isomorphisme de E vers F
Si f^-1 est un isomorphisme de F vers E
Pr tt u dans F, (fof^-1)(u)=u
Pr tt u dans E, (f^-1of)(u)=u

On appelle noyau de f, note Ker(f), l'ensemble des vecteurs u de E tels que f(u)=0F
On appelle image de f, note Im(f), l'ensemble des images des vecteurs de E par f
Si f est une application linéaire de E vers F alors,
f est injective <=> Ker(f)={0E}
f est surjective <=> Im(f)=F

Si f est une application linéaire de E vers F
Si (e1, e2,..., en) est une base de E
Alors Im(f)=Vect(f(e1), f(e2),..., f(en))
Cad que cette famille est génératrice de Im(f)

Soit E un ev de dim n
Soit f E L(E,F) alors
F est un isomorphisme ssi l'image de la base de E est une base de F
Donc si f est un isomorphisme de E et que B en est la base alors f(B) est une base de F et dim F = dim E (jamais l'inverse)

Si f E L(E,F) où E un ev de dim finie alors:
Dim E=dim Ker(f)+dim Im(f)

Soit f E L(E,F) avec E et F de même dimension finie
On a alors: f injective <=> f surjective

C'est la dimension de l'espace vectoriel engendré par la famille, noté rg
On peux le calculer en écrivant les vecteurs sous forme de matrice, de l'échelonner et de compter le nombre de pivots qui sera le rang

rg(f)=dim Im(f)

Une équation linéaire est sous la forme f(u)=b, il y a 2 cas de figures:
1) b n'a pas d'antécédent donc il n'y a aucune solution
2) b a au moins une solution cad f(u0)=b, une solution de f(u)=b est u=u0+w avec w=u-u0
Si Ker(f)={0}, l'unique solution est u0
Sinon il y a une infinité de solution