Variables aléatoire sur un univers fini

Soit (Ω, P) un espace probabilisé fini
X est une variable aléatoire si c'est une application sur Ω et à valeur réelle
On note X(Ω) l'ensemble des valeurs prises par la variable X et s'appelle l'univers image de X

La loi d'une variable aléatoire consiste à chercher les probabilités de P(X=xk) avec xk les valeurs prises par X

Soit X une variable aléatoire, en posant Y=φ(X), on obtenir une nouvelle variable qui est les valeurs prises des images de X par φ

Si X prend les valeurs xk, l'espérance est E(X)=Σxk*P(X=xk)
Si E(X)=0, la variable est centrée

E(φ(X))=Σφ(xk)*P(X=xk)

Soient X et Y deux variables aléatoires, a et b deux réelles
E(aX+b)=aE(X)+b
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

V(X)=E((X-E(X))²)
σ(X)=√V(X)
Si V(X)=1, la variable est réduite
Si V(X)=1 et E(X)0, la variable est dite centrée réduite

V(X)=E(X²)-(E(X))²
Autre formule de V(X)
V(aX+b)=a²V(X)

Soit X une variable ayant une variance V(X), on a :
∀ε>0, P(|X-E(X)|>ε)<V(X)/ε²

X suit la loi certaine s'il existe un réel a tel que:
X(Ω)={a}
P(X=a)=1
Alors E(X)=a, V(X)=0

X suit la loi uniforme s'il pr tt {x1, x2,..., x},
X(Ω)={x1, x2,..., xn}
P(X=xi)=1/n
Alors: E(X)=n+1/2, V(X)=n²-1/12

X suit la loi de Bernoulli de paramètre p E [0,1] si:
X(Ω) ={0,1}
P(X=1)=p
Alors: E(x)=p, V(x)=p(1-p)

X suit la loi binomiale de paramètre n et p si:
X(Ω)=[|0,n|]
P(X=k)=(np)p^k*(1-p)^n-k
Alors: E(X)=n*p, V(X)=n*p*(1-p)