Inferenzstatistik II

Normalverteilungen können verschiedenen Formen annehmen, abhängig davon welche Werte der Mittelwert oder die Varianz annehmen. Durch die z-transformation lässt sich die Normalverteilung in eine Standardnormalverteilung umwandeln mit dem Mittelwert µ = 0 und der Standardabweichungσ= 1. Mit diesen Parametern lassen sich nun viel einfacher Hypothesen aufstellen da die Wahrscheinlichkeiten der Standardnormalverteilung bekannt sind.

$Z = \frac{X - µ}{σ}$

$P(Z>0,5) = 1-P(Z≤0,5)$
$P(Z≤0,5)=0,6915$ (laut z-tabelle)
$P(Z>0,5) = 1-0,6915$
$P(Z>0,5) = 0,3085$

1. Stichprobenziehung
2. Berechnung des Schätzwerts
3. Erstellen des Konfidenzintervalls

Der Schätzwer ist anders als der wahre Parameter nicht fest und ändert sich von Stichprobe zu Stichprobe. Die Unsicherheit mit dem wir also den Schätzwert Quantifizieren sagt uns nur aus inwiefern dieser mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit mit dem wahren Wert nicht übereinstimmt.

Hypothetische Verteilung der Stichprobenkennwerte bei mehrmaligem Ziehen von
Stichproben (z. B. Mittelwert)

Der Standardfehler (SE) ist ein Maß dafür, wie stark ein Schätzer (z. B. der Stichprobenmittelwert) von Stichprobe zu Stichprobe schwankt. Er zeigt also die typische Unsicherheit unseres Schätzers. Wir benutzen den Standardfehler, um:

1. Konfidenzintervalle zu berechnen – damit geben wir an, in welchem Bereich der Schätzer den wahren Parameter mit hoher Wahrscheinlichkeit „überdeckt“.

2. Hypothesentests durchzuführen – um zu beurteilen, ob Abweichungen vom erwarteten Wert signifikant sind.

3. Stichprobenvergleiche zu bewerten – z. B. Mittelwertsunterschiede zwischen Gruppen.

$SE=\frac{s}{\sqrt{n}}$

Ein Punktschätzer ist ein einzelner aus einer Stichprobe berechneter Wert, der zur Schätzung eines unbekannten Parameters der Grundgesamtheit dient.

Ein Intervallschätzer hingegen gibt kein einzelnes Ergebnis an, sondern ein Intervall, in dem der wahre Parameter mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (z. B. 95 %) liegt.

Signifikanzniveau = Wahrscheinlichkeit (⍺), dass die Nullhypothese verworfen wird, obwohl
sie wahr ist.

• Niedrigeres Signifikanzniveau (z.B. ⍺ = 0,01)
--> Niedrigere Toleranz für Fehler
--> Damit muss Konfidenzintervall auch größer sein

• Höheres Signifikanzniveau (z.B. ⍺ = 0,10)
--> Höhere Toleranz für Fehler
--> Kleinerer Konfidenzintervall (genauere Aussage möglich, aber KI enthält wahren Wert mit
kleinerer Wahrscheinlichkeit)

Wenn die Populationsvarianz bekannt ist und die Standardabweichung fest ist.

Wenn die Populationsvarianz unbekannt ist und durch die Stichprobenvarianz geschätzt wird.