Espaces vectoriels

Lois + interne:
1) ∀(u,v) ∈ E², u+v∈ E
2) ∀(u,v,w), (u+v)+w=u+(v+w)
3) ∀(u,v)∈ E², u+v=v+u
4) ∀u ∈ E, u+0E=u
5) ∀u ∈ E, ]v ∈ E, u+v=0E
Lois . externe:
6) ∀u ∈ E, λ∈ K, λ. u ∈ E
7) ∀(λ,µ) ∈ R², ∀u ∈ E, λ.(µ.u)=(λµ)u
8) ∀λ∈ K, ∀(u,v)∈ E², λ.(u+v)=λ. u+λ. v
∀(λ,µ) ∈ R², ∀u ∈ E, (λ+µ).u=λ. u+µ.u
9) ∀u ∈ E, 1.u=u

Si E est un K-espace vectoriel, les éléments de E s'appelle des vecteurs et les éléments de K des scalaires

E=K^n
Mn,p(K), Matrice
F(K,K), fonction ou suite définie sur K à valeur dans K
Kn[X], polynôme de degré au plus n et à coefficient dans K
K[X], polynôme à coefficient dans K
ExF, produit cartésien d'espace vectoriel

On note Vect(u1,u2,...,un) l'ensemble des combinaisons linéaires de u1,u2,...un

F est un sous-espace vectoriel de E si:
1) F C E
2) F≠∅
3) ∀(u,v) ∈ F², ∀(λ,µ) ∈ R², λu+µv ∈ F

Kn[X] est un sev de K[X]
Vect(u1,u2,...un) est un sev de E (K-ev)
On dit qu'il est le sev engendré par les vecteurs u1,u2,...un

1) F=Vect(u) est une droite vectorielle
2) F=Vect(u,v) avec u et v non colinéaire, est un plan vectoriel

1) Vérifier les 3 items
2) Ecrire F sous forme "d'un Vect"
Soit u=(....) ∈ ...
u ∈ ... <=> (isoler une inconnue)
Je pose alors u1=(...), u2=(...), ect
u ∈ ... <=>u=u1..+u2...
F est l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs u1,u2...

Une famille est libre si l'équation λ1u1+λ2u2+...λnun=0 à pour unique solution (λ1,λ2,...λn)=(0,0,...,0)
Sinon elle est liée
Si (u1,u2,...,un) est libre et si λ1*u1+...+λn*un=µ1*u1+...+µn*un
Alors par unicité des coefficients, λ1=µ1,...,λn=µn

On peut:
-évaluer en certains réel
-dériver
-effectuer un passage à la limite
-utiliser les propriétés des fonctions

Si p=1: u est libre si u≠0E
Si p=2: u et v sont libres si u et v sont non colinéaires
Si p>3: résoudre l'équation λ1*u1+λ2*u2+...+λn*un=0

Une famille de polynôme est libre si elle est échelonnée en degrés (degrés croissant 2à2 disctints)

Soit E un ev et F un sev de E
La famille (u1,u2,...,un) est génératrice si (u1,u2,...,un) appartient à F et tout vecteur est combinaison linéaire de la famille
Donc F=Vect(u1,u2,...,un)

Une famille est une base vectoriel si elle est libre et génératrice

Toute les bases sont appelées bases canoniques
1) K^n, sa base est (e1,e2,...,en) où e1=(1,0,...,0),...,en=(0,0,...,1)
2) Mn,p(K), sa base est (Ei,j)
3) Kn[X], sa base est (1,X,X²,...,X^n)

L'intersection de 2 sev de E est lui aussi un sev de E mais pas la réunion de 2 sev

La somme de F+G (2 sev de E) est l'ensemble des vecteurs u de E sous la forme f+g où f∈F, g∈G
C'est aussi un sev de E

Soit F et G 2 dev de E
F et G sont en somme directe si F∩G={0E}

Soit F et G 2 sev de E
F et G sont supplémentaires si E=F+G et F∩G={0E}
S'ils sont supplémentaires alors tout vecteur de E se décompose de anière unique d'un élément de F et d'un élément de G:
- existance: pour tout u dans E, il existe f dans F et g dans G tq u=f+g
- unicité: si u s'écrit de 2 façon : u=f+g et u= f̃+g̃ alors f= f̃ et g=g̃