Polynômes

Résoudre les trinômes
racine n-ième: z^n=1: z=e^2ikpi/n, z^n=a: z=p^1/n*e^iteta/n*e^2ikpi/n

K[X] est un ensemble despolynômes à coefficient dans K
P(X)=Σak*X^k
Écrire X permet d'évaluer un polynôme en un nombre ou en une matrice carrée

Pour P≠0: si an≠0 le degré vaudra n
Pour P=0: le degré vaut -∞
Le coeeficient dominant valant 0 est dit unitaire
Kn[X] est l'ensemble des polynômes à coefficient dans K de degré inférieur ou égal à n

deg(P+Q)<max(deg(P),deg(Q))
si deg(P)≠deg(Q): deg(P+Q)=max(deg(P),deg(Q))
deg(aP)=deg(P) si a≠0
deg(PQ)=deg(P)+deg(Q)

Rappeler l'expression de Φ: Φ(X) = P(X+1)
Poser P(X) = X^i d'où P(X+1) = (X+1)^i

P'=Σ k*ak*X^k-1
Pour k=1

(PQ)'=Σ(nk)P^(k)*Q^(n-k)

Si p>k: (X^k)^p = 0
Si 0<p<k: (X^k)kp = k!/(k-n)! X^(n-p)

Si P est un polynôme de degré <n
Si ∝ ets une contante alors:
P(X)=ΣP^(k)/k!*(X-∝)^k

Trouver une racine évidente
Factoriser par X-r: P=(X-r)(aX²+bX+c)
Développer pour faire un système et trouver a b

Plus rapide, plus sûre :
Division euclidienne de polynôme par X-r

P a R pour racine <=> P est factorisable par X-R
On peux le prouver avec la formule de Taylor
En générale, P ayant pour racine α1,α2,...αn se factorise par (X-α1)(X-α2)....(X-αn)

Polynôme nul: infinité de racine
Polynôme non nul et constant: aucune racine

αest racine de P de multiplicité k si P est factorisable par (X-α)^k et non (X-α)^k-1
ssi P(α)=0, P'(α)=0,....P^(k-1)=0, P^(k)≠0

C'est un polynôme avec toutes ces racines dans K, il se note alors P=λπ(X-αi)^βi, il est de degré Σ βi

Tout polynôme de C[X] admet au moins une racine et est scindé dans C[X]

α1+α2+...αn=-a(n-1)/an avec an les coefficients du polynôme
α1*α2*...*αn=a0/an*(-1)^n