Développements limités

f admet un développement limité en a d'ordre n s'il existe b0,b1,b2,...,bn des réels:
f(a+h)=b0+b1h+...+bn*h^n+°(h^n)
h^n+1 tend plus vite que h^n
si g(h)=°(h^n+1)+°(h^n) alors g(h)=°(h^n)

Si f est de classe C^n sur I, pr tout a E I, on a alors à l'ordre n en 0: (somme de 0 à n)
f(a+h)=Σ (f^(k)(a)) / k! * h^k + °(h^n)

sin(x)=x - x^3/3! + ... + (-1)^(n) x^(2n+1) / (2n+1)! + °(x^2n+2)

arctan(x)=x - x^3/3 + ... + (-1)^(n) x^(2n+1) / (2n+1) + °(x^2n+2)

tan(x)=1 + x^3/3 + °(x^4)

ln(1+x)=x - x^2/2 + x^3/3 + ... + (-1)^(n-1) x^(n)/n + °(x^n)

exp=1 + x + x^2/2! + ... +x^n/n! + °(x^n)

(1+x)^α= 1 + αx + α(α-1)/2! x^2 + α(α-1)(α-2)/3! x^3 + ... + α(α-1)...(α-n+1)/n! x^n + °(x^n)

cos(x)= 1 - x^2/2! + x^4/4! + ... + (-1)^n x^2n / 2n! + °(x^2n+1)

1/1-x=1+x+x²+...+x^n+°(x^n)

Si f admet un DL à l'ordre n en a, alors f admet un DL à tout ordre p<n en a
cad o retire tous les termes d'exposant <p

Somme: Si f et g admettent un DLn(a) alors αf+βg admettent un DLn(a) tel que: αf(a+h)+βg(a+h)=αPn(h)+βQn(h)+°(h^n)
Produit: Si f et g admettent un DLn(a) alors fg admettent un DLn(a) tel que: f(a+h)*g(a+h)=Pn(h)*Q(h)+°(h^n) (On troncature les termes d'exposant >n)
Composée: Si f admet un DLn(0), si g admet un DLn(f(0)) alors gof admet un DLn(0) tel que: (gof)(h)=(PgoPf)(h)+°(h^n)
Quotient: On se ramène à un produit de la forme 1/1-X avec X->0

Soit f une fonction continue sur I
Soit F une primitive de f sur I
Si f admet un Dln(a) alors F admet un Dln+1(a)
Pour l'utiliser, on dérive la fonction dont on chercher son DL et on chercher le DL de la dérivée pour ensuite intégré le DL

Si f admet un DL alors le 1er terme non nul est l'équivalent de f en 0
Pour la limite d'un quotient, on chercher un équivalent sinon on utilise un DL pour l'avoir

Si f est définie sur a et s'il admet un DL en a d'ordre 1 : f(a+h)=a0+a1h+°(h)
alors f est dérivable en a et f(a)=a0, f'(a)=a1
Si f est définie en 0 alors on a l'équation de la tangente : y=f'(0)x+f(0)=a1x+a0

Si lim f en a = +∞, f admet une asymptote horizontale d'équation x=a
Si lim f en +∞ = l, f admet une asymptote vertical d'équation y = l
Si lim [f(x)-(ax+b)] en +∞ = 0, f admet une asymptote oblique d'équation y=ax+b