Dérivabilité des fonctions réelles

Le taux d'accroissement vaut f(x)-f(a)/(x-a) mais aussi le coefficient directeur de [a,x]
Une fonction est dérivable en a si lim f(x)-f(a)/(x-a) existe et est fini, noté f'(a)

y=f'(a)(x-a)+f(a)

Si f est dérivable à gauche en a et à droite en a et que f'g=f'd alors f est dérivable en a

Somme, produit, quotient, les fonctions restent dérivables dans leurs domaines

Si f est dérivable en a et g dérivable en f(a) alors gof est dérivable en a et sa dérivé est (gof)'(x)=f'(x)g'(f(x))

Soit f continue, strictement monotone sur l'intervalle I
Si f est dérivable sur I et que f' ne s'annule pas, alors:
1) f effectue une bijection de I vers f(I)=J
2) f^-1 est dérivable sur J et sa dérivé est 1/f'(f^-1(x))

Global: étudier les domaines de dérivabilité des facteurs de la fonction
Local: former le taux d'accroisement et établir que la limite existe

f est dans la classe C^k si f est dérivable k fois sur D et f' est continue sur D, on note C(D,R)
La classe C(infini) est pour les fonctions dérivables à l'infini, les fonctions usuelles le sont

Somme, produit, quotient et composé reste de classe C^k

Soit f définie sur un domaine D, soit a E D
f admet un minimun local si f(x)>f(a)
f admet un maximun local si f(x)<f(a)

Soit f définie sur l'intervalle I, soit a un point intérieur de I
Si f est dérivable en a et admet un extremum local en a alors f'(a)=0

Soit f continue sur un segment [a,b] et dérivable sur ]a,b[, si f(a)=f(b) alors il existe un réel c E ]a,b[ tel que f'(c)=0

Soit f continue sur le segment [a,b], dérivable sur ]a,b[ alors il existe un réel c E ]a,b[ tel que f'(c)=f(b)-f(a)/ b-a

Soit f une fonction dérivable sur l'intervalle I, on suppose qu'il existe M E R+, ∀x E I, |f'(x)|<M
On a : ∀(a,b) E R² de I, |f(b)-f(a)|<M|b-a|