Limites fonctions

Si $\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x) =\ell$, la droite d'équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ ou $-\infty$

Si $\lim \limits_{x\to a}f(x)=\pm\infty$, la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe de $f$

$\infty-\infty$, $0\times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$

Pour étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$, on étudie le signe de la différence $f(x)-g(x)$

si $\lim\limits_{x\to a} f(x)=\ell$ et $\lim\limits_{X\to \ell} g(X)=L$ alors $\lim\limits_{x\to a} g(f(x))=L$

On factoriser par "ce qui l'emporte"

Permet de prouver qu'une fonction tend vers l'infini quand $x\to \pm\infty$

Si $f(x)\leq g(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) =+\infty \Rightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}g(x) =+\infty$

Si $f(x)\leq g(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x) =-\infty \Rightarrow \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) =-\infty$

Permet de prouver qu'une fonction a une limite finie quand $x\to \pm\infty$

Si $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) =\lim\limits_{x\to+\infty}h(x) =\ell$

alors $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x) =\ell$

$\lim\limits_{x\to-\infty}e^x =0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}e^x =+\infty$

$\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x =0$ $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x} =+\infty$

Plus généralement, pour tout entier naturel $n\geq 1$:

$\lim\limits_{x\to-\infty}x^ne^x =0$ $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x^n} =+\infty$