Orthogonalité & projections

Pour un vecteur u et v avec des dimensions n:
$u\bullet v = u^Tv$

Avec une propriété des paraboles, on a pu prouver que
$|u\bullet v| \leq ||u||\cdot ||v||$

Vu que $-||u||\cdot ||v||\leq u\bullet v \leq ||u||\cdot ||v||$, on isole le milieu pour laisser -1 et 1 de chaque côté, ce qui nous permet d'affirmer que:

$cos(\theta)=\frac{u\bullet v}{||u||\cdot ||v||}$

$\hat y=proj_uy=(\frac{y\bullet u}{u\bullet u})u$

C'est un sous-espace vectoriel de W, peu importe
Ça représente tous les vecteurs qui sont perpendiculaires à W

Une famille orthogonale est une famille de vecteurs qui font une base de leur espace
Une famille orthonormée est une famille orthogonale avec des vecteurs unitaires

$||\vec u|| = \sqrt{\langle u,u\rangle}$

$1. \langle u,v\rangle = \langle v,u\rangle$
$2. \langle cu+v,w\rangle = c\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle$
$3. \langle u,u\rangle \geq 0$ ET $v=0_v,$ alors $\langle v,v\rangle =0$