Matrice d'application linéaire

Cette matrice contient les coordonnées de x dans la base B, on le note Mat(B)(x)
si x=y alors Mat(x)=Mat(y)

Soit f E L(E,F), B=(e1,e2,...,en) la base de E et B'=(e'1,e'2,...,e'n) la base de F
Mat(B,B')(f)=(f(e1) f(e2) ... f(en)) e'1
(f(e1) f(e2) ... f(en)) e'2
(f(e1) f(e2) ... f(en)) e'n

On peux calculer la matrice image grâce à la matrice de l'application linéaire de f et la matrice du vecteur u:
Mat(B')(f(u))=Mat(B,B')(f)*Mat(B)(u)

La matrice A d'une application linéaire f canoniquement associée vaut Mat(B,B')(f)
Donc ker(A)=ker(f), Im(A)=Im(f), rg(A)=rg(f)

Elle est linéaire donc
Soit f et g des applications linéaires: Mat(µf)=µMat(f) et Mat(f+g)=Mat(f)+Mat(g)
Soit Ψ une application linéaire de L(E,F) -> Mn,p(K)
Ψest alors linéaire et même est isomorphisme
Donc dim L(E,F)=dim E*dimF

Soit E de base B, F de base B', G de base B"
Soit f E L(E,F), g E L(F,G)
donc gof E L(E,G)
Ainsi: Mat(B,B")(gof)=Mat(B',B")(g)*Mat(B,B')(f)

f est un isomorphisme <=> Mat(f) est inversible

C'est la matrice qui exprime les vecteurs d'une base dans une autre, notée Pb->b'
Si b et b' sont les bases d'un ev E, alors :
Pb->b'=(Pb'->b)^-1

Soit b et b' des bases de E
Soit u un vecteur de E, X la matrice de u dans b et X' la matrice de u dans b'
X=Pb->b' X' et X'=Pb'->b X

Soit f un endomorphisme de E, b et b' 2 bases de E
Mat(b)(f)=Pb->b'*Mat(b')(f)*Pb'->b

rg(f)=rg(Mat(f)), c'est la même chose pour les familles de vecteurs