Systèmes linéaires et matrices

a1x1+a2x2+.... +apxp=b avec p inconnu

Il est formé d'une nombre n d'équation linéaire avec p inconnu
Ses solutions sont des p-uplets(x1, x2,.., xp)
Il faut trouver toutes les solutions pour résoudre un système

On peut les noter en notation matricielle, ici une matrice augmentée :
(a1,1+a1,2+...+a1,n | b1)
(a2,1+a2,2+...+a2,n | b2)
(a3,1+a3,2+...+a3,n | b3)
(c'est une seule grande parenthèse)

1) échange de ligne : Li<->Lj
2) multiplication d'une ligne par un réel : Li<-∝Lj avec ∝un réel non nul
3) ajout d'un multiple d'une autre ligne : Li<-Li+∝Lj avec ∝un réel
Ces opérations permettent d'avoir des matrices équivalentes

Conditions:
-si une ligne est nulle, les suivantes aussi
-le premier réel non nul suffit de se situer à droite du réel de la ligne précédente

Méthode pour échelonner :
Étape 1: le premier élément doit être un réel non nul et doit avoir un zéro en dessous de lui
Étape 2: on refait la 1ere étape sur la sous matrice en ignorant la première ligne
Étape 3: on continu tant qu'il existe les colonnes non nulles

On l'échelonne pour avoir une idée des solutions
Si il y a autant de pivots que de membre de droite : il y a une solution
Si il y a moins de pivot que de membre de droite : il y a une infinité de solutions
Si il y a une ligne nulle : il y a aucune solution

Quand le nombre d'équation, d'inconnus et le rang sont égaux

Une famille est libre si la seule combinaison linéaire de ces vecteurs est formée de coefficients tous nuls

Dans Rⁿ, une famille avec p vecteur >n est nécessairement liée

Si une famille est libre alors il n'y a qu'une seule façon d'écrire la combinaison linéaire des vecteurs de la famille avec des coefficients nuls