1$E \text{ un } \mathbb K \text{-espace vectoriel (espace vectoriel sur } \mathbb K\text{)}$
$\begin{cases} E \neq \emptyset \\ (E, +) \text{ est un groupe abélien} \\ \forall(\lambda, \mu, \vec u, \vec v) \in \mathbb K^2 \times E^2 \quad \begin{cases} \lambda(\vec u + \vec v) = \lambda \vec u + \lambda \vec v \\ (\lambda + \mu) \vec u = \lambda \vec u + \mu \vec u \end{cases} \\ \forall (\lambda, \mu, \vec u) \in \mathbb K^2 \times E \quad \lambda(\mu \vec u) = (\lambda\mu) \vec u \\ \forall \vec u \in \mathbb E \quad 1 \cdot \vec u = \vec u\end{cases}$
2$\text{Vecteurs}$
$\text{Éléménts d'un espace vectoriel}$
3$\text{Scalaires}$
$\text{Éléments du corps}$
4$\text{Vecteur nul}$
$\vec 0 \text{ : c'est l'élément neutre pour } +$
5$\text{Sous-espace vectoriel } F \text{ de } E$
$\begin{cases} F \subset E \\ F \neq \emptyset \\ \forall(\lambda, \mu, \vec u, \vec v) \in \mathbb K^2 \times F^2 \quad \lambda \vec u + \mu \vec v \in F\end{cases}$
6$\text{Sous-espace vectoriel engendré par } A$
$\text{Plus petit sous-espace vectoriel contenant } A$
7$\text{Combinaison linéaire d'une famille de vecteur } \mathscr F = (\vec x_i)_{i \in I}$
$\text{Vecteur de la forme } \sum_{i \in I}\lambda_i \vec x_i$
8$\mathscr F \text{ est une famille génératrice de } E$
$Vect(\mathscr F) = E$
9$\mathscr F \text{ est une famille libre}$
$\sum_{i \in I}\lambda_i \vec x_i = \vec 0 \implies \forall i \in I \quad \lambda_i = 0$
10$\mathscr F \text{ est une famille liée}$
$\mathscr F \text{ n'est pas libre}$
11$\mathscr B \text{ est une base}$
$\mathscr B \text{ est une famille libre et génératrice de } E$
12$F + G$
$F + G = \{\vec u + \vec v\}_{(\vec u, \vec v) \in F \times G}$
13$F \text{ et } G \text{ sont en somme directe}$
$\forall(\vec u, \vec v) \in F \times G \quad \vec u + \vec v = \vec 0 \implies \vec u = \vec v = \vec 0$
14$F \text{ et } G \text{ sont des sev supplémentaires de } E$
$F \oplus G = E$
15$\mathscr B \text{ est une base adaptée}$
$\mathscr B = \mathscr B_F \cup \mathscr B_G \text{ et } E = F \oplus G$