1$\text{Propriété 1 : Propriétés de la relation d'ordre } \le$
$\begin{cases}\begin{cases}a \le b \\ c \le d\end{cases} \implies a + c \le b + d \\\begin{cases}0 \le a \le b \\ 0 \le c \le d\end{cases} \implies ac \le bd \\\begin{cases}a \le b \\ c \ge 0\end{cases} \implies ac \le bc \\ 0 < a \le b \implies 0 < \frac{1}{b} \le \frac{1}{a} \\\begin{cases}a \le b \\ c < d\end{cases} \implies a + c < b + d \\\begin{cases} a \ge 0 \\ b \ge 0\end{cases} \implies (a + b = 0 \implies a = b = 0)\end{cases}$
2$\text{Théorème 1 : Division euclidienne dans } \mathbb N$
$\forall (a, b) \in \mathbb N \times \mathbb N^* \quad \exists (q, r) \in \mathbb N^2 \quad \begin{cases}a = bq + r \\ r < b\end{cases}$
3$\text{Théorème 2 : Division euclidienne dans } \mathbb Z$
$\forall (a, b) \in \mathbb Z \times \mathbb Z^* \quad \exists (q, r) \in \mathbb Z \times \mathbb N \quad \begin{cases}a = bq + r \\ r < |b|\end{cases}$
4$\text{Théorème 3 : Division euclidienne dans } \mathbb R$
$\forall (a, b) \in \mathbb R \times \mathbb R^* \quad \exists (q, r) \in \mathbb Z \times \mathbb R^+ \quad \begin{cases}a = bq + r \\ r < |b|\end{cases}$
5$\text{Proposition 1 : Expression de } x \text{ et } |x| \text{ en fonction des parties positives et négatives de } x$
$\begin{cases}x = x^+ - x^- \\ |x| = x^+ + x^-\end{cases}$
6$\text{Proposition 2 : Propriétés sur } |x| \text{ et } |y|$
$\begin{cases}|x| \ge 0 \\ |x| = |y| \Longleftrightarrow x = \pm y \\ y \ge 0 \implies (|x| = y \Longleftrightarrow x = \pm y) \\ y < 0 \implies |x| = y \text{ impossible}\end{cases}$
7$\text{Propriété 2 : Propriétés de la valeur absolue}$
$\begin{cases} |xy| = |x||y| \\ \forall \lambda \ge 0 \quad |\lambda a| = \lambda |a| \\ b \neq 0 \implies \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}\end{cases}$
8$\text{Proposition 3 : Lien entre valeur absolue et ensemble}$
$\begin{cases}|x| \le a \Longleftrightarrow x \in [-a, a] \\ |x - y| \le a \Longleftrightarrow x \in [a - y, a + y]\end{cases}$
9$\text{Proposition 4 : Lien entre valeur absolue et carré}$
$\begin{cases}|x^2| = x^2 \\ |x| = \sqrt{x^2}\end{cases}$
10$\text{Proposition 5 : Inégalité triangulaire}$
$\begin{cases}|x \pm y| \le |x| + |y| \\ ||x| - |y|| \le |x \pm y|\end{cases}$
11$\text{Proposition 6.a : Caractérisation de la partie entière}$
$\lfloor x \rfloor \text{ est l'unique entier tel que } \lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$
12$\text{Proposition 6.b : Lien entre partie entière et ensemble}$
$\forall k \in \mathbb Z \quad \lfloor x \rfloor = k \Longleftrightarrow x \in [k, k+1[$
13$\text{Proposition 7 : Extraction d'entier de la partie entière}$
$\forall k \in \mathbb Z \quad \lfloor x + k \rfloor = \lfloor x \rfloor + k$
14$\text{Proposition 8 : Translation de graphe}$
$\text{Si } \forall x \in g(x) = f(x - \alpha) + \beta, \text{ alors } \mathscr C_g \text{ est une translation de } \mathscr C_f \text{ suivant } \vec u = (\alpha, \beta)$
15$\text{Proposition 9.a : Dilatation en abscisse de graphe}$
$\text{Si } \forall x \in g(x) = f(cx), \text{ alors } \mathscr C_g \text{ est la dilatation en abscisse de rapport } c \text{ de } \mathscr C_f$
16$\text{Proposition 9.b : Symétrie de graphe}$
$\text{Si } \forall x \in g(x) = f(-x), \text{ alors } \mathscr C_g \text{ est la symétrie par rapport à } (O_y) \text{ de } \mathscr C_f$
17$\text{Proposition 9.c : Dilatation en ordonnée de graphe}$
$\text{Si } \forall x \in g(x) = cf(x), \text{ alors } \mathscr C_g \text{ est la dilatation en ordonnée de rapport } c \text{ de } \mathscr C_f$
18$\text{Proposition 10.a : Caractérisation de la parité d'une fonction}$
$f \text{ paire } \Longleftrightarrow \mathscr C_f \text{ est symétrique par rapport à } (O_y)$
19$\text{Proposition 10.b : Caractérisation de l'imparité d'une fonction}$
$f \text{ impaire } \Longleftrightarrow \mathscr C_f \text{ est symétrique par rapport à } O$
20$\text{Théorème 4 : Décomposition en fonction paire et impaire}$
$\forall f \in \mathscr F(E, \mathbb R) \quad \exists (f_p, f_i) \in \mathscr F(E, \mathbb R)^2 \quad \begin{cases}f_p \text{ paire} \\ f_i \text{ impaire} \\ f = f_p + f_i\end{cases}$
21$\text{Proposition 11 : Généralisation de la périodicité d'une fonction}$
$f \text{ T-périodique} \implies \forall x \in E \quad \forall k \in \mathbb Z \quad \begin{cases} x + kT \in E \\ f(x + kT) = f(x)\end{cases}$
22$\text{Proposition 12 : Caractérisation de la périodicité d'une fonction}$
$f \text{ T-périodique} \Longleftrightarrow \text{ le graphe de } f \text{ est invariant par la translation suivant } \vec v = (T, 0)$
23$\text{Proposition 13.a : Composée de deux fonctions croissantes}$
$\begin{cases}f \text{ croissante} \\ g \text{ croissante} \end{cases} \implies f \circ g \text{ croissante}$
24$\text{Proposition 13.b : Composée d'une fonction croissante et d'une fonction décroissante}$
$\begin{cases}f \text{ décroissante} \\ g \text{ croissante} \end{cases} \implies \begin{cases}f \circ g \text{ décroissante} \\ g \circ f \text{ décroissante}\end{cases}$
25$\text{Proposition 13.c : Composée de deux fonctions décroissantes}$
$\begin{cases}f \text{ décroissante} \\ g \text{ décroissante} \end{cases} \implies f \circ g \text{ croissante}$
26$\text{Proposition 14 : Lien entre stricte monotonie et injectivité}$
$f \text{ strictement monotone } \implies f \text{ injective}$
27$\text{Théorème 5 : Interprétation graphique de la bijection réciproque}$
$\mathscr C_{f^{-1}} \text{ est le résultat de la symétrie axiale par rapport à la droite } y = x \text{ de } \mathscr C_f$
28$\text{Proposition 15 : Monotonie d'une bijection réciproque}$
$\begin{cases}f \text{ croissante } \implies f^{-1} \text{ croissante} \\ f \text{ strictement croissante } \implies f^{-1} \text{ strictement croissante} \\ f \text{ décroissante } \implies f^{-1} \text{ décroissante} \\ f \text{ strictement décroissante } \implies f^{-1} \text{ strictement décroissante}\end{cases}$
29$\text{Proposition 16 : Imparité d'une bijection réciproque}$
$f \text{ impaire} \implies f^{-1} \text{ impaire}$
30$\text{Théorème 6 : Théorème des valeurs intermédiaires}$
$f \text{ continue sur } [a, b] \implies \forall y \in [f(a), f(b)] \quad \exists x \in [a, b] \quad f(x) = y$
31$\text{Corollaire 1 : Corollaire du TVI dans le cas d'un intervalle ouvert}$
$\begin{cases} f \text{ continue sur } [a, b[ \\ \ell_b = \lim_{x \rightarrow b^-}f(x) \text{ existe}\end{cases} \implies \forall y \in [f(a), \ell_b] \quad \exists x \in [a, b[ \quad f(x) = y$
32$\text{Théorème 7 : Théorème de la bijection}$
$\begin{cases} f \text{ continue sur } [a, b] \\ f \text{ strictement monotone sur } [a, b]\end{cases} \implies \begin{cases}f \text{ induit une bijection de } [a, b] \text{ sur } [f(a), f(b)] \\ \text{la bijection réciproque induite est continue}\end{cases}$
33$\text{Corollaire 2 : Corollaire du théorème de bijection dans le cas d'un intervalle ouvert}$
$\begin{cases} f \text{ continue sur } [a, b] \\ f \text{ strictement monotone sur } [a, b] \\ \ell_a = \lim_{x \rightarrow a^+} f(x)\end{cases} \implies \begin{cases}f \text{ induit une bijection de } ]a, b] \text{ sur } ]\ell_a, f(b)] \\ \text{la bijection réciproque induite est continue}\end{cases}$
34$\text{Proposition 17 : Dérivée d'une combinaison linéaire}$
$\left(\sum^k_{i=1}\alpha_i f_i\right)' = \sum^k_{i=1}\alpha_i f_i'$
35$\text{Proposition 18 : Dérivée d'un produit}$
$(uv)' = u'v+ uv'$
36$\text{Proposition 19 : Dérivée d'un quotient}$
$\forall x \in I \quad v(x) \neq 0 \implies \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$
37$\text{Proposition 20 : Dérivée d'une composée}$
$(f \circ g)' = g' \times f' \circ g$
38$\text{Corollaire 3 : Conséquence de la formule de dérivée d'une composée}$
$\begin{cases}\forall n \in \mathbb N \quad \left(u^n\right)' = nu'u^{n-1} \\ \forall x \in I \quad u(x) \neq 0 \implies \forall n \in \mathbb Z \quad \left(u^n\right)' = nu'u^{n-1} \\ \forall x \in I \quad u(x) > 0 \implies \forall \alpha \in \mathbb R \quad \left(u^\alpha\right)' = \alpha u'u^{\alpha-1} \\ \forall x \in I \quad u(x) > 0 \implies (\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \\ \left(e^u\right)' = u'e^u \\ \forall x \in I \quad u(x) > 0 \implies (ln \circ u)' = \frac{u'}{u}\end{cases}$
39$\text{Théorème 8 : Dérivée d'une bijection réciproque}$
$\forall a \in I \quad f'(a) \neq 0 \Longleftrightarrow (f^{-1})'(f(a)) = \frac{1}{f'(a)}$
40$\text{Corollaire 4 : Reformulation de la dérivée d'une bijection réciproque}$
$\forall a \in I \quad f'(a) \neq 0 \Longleftrightarrow (f^{-1})'(a) = \frac{1}{f'(f^{-1}(a))}$
41$\text{Proposition 21 : Équation de la tangeante à } f \text{ en } x_0$
$f \text{ dérivable en } x_0 \implies T_{x_0}: y = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0)$
42$\text{Théorème 9.a : Caractérisation de la croissance d'une fonction dérivable}$
$f \text{ croissante sur } I \Longleftrightarrow \forall x \in I \quad f'(x) \ge 0$
43$\text{Théorème 9.b : Caractérisation de la déroissance d'une fonction dérivable}$
$f \text{ décroissante sur } I \Longleftrightarrow \forall x \in I \quad f'(x) \le 0$
44$\text{Théorème 10 : Caractérisation de la stricte monotonie d'une fonction } \begin{cases} \text{dérivable} \\ \text{monotone} \end{cases}$
$f \text{ strictement monotone sur } I \Longleftrightarrow \{x \in I / f'(x) = 0\} \text{ ne contient pas d'intervalle non trivial}$
45$\text{Propriété 3 : Dérivées de fonctions à valeur dans } \mathbb C$
$\begin{cases} \forall \alpha \in \mathbb C \quad (\alpha u)' = \alpha u' \\ (u + v)' = u' + v' \\ (uv)' = u'v + uv' \\ v \text{ ne s'annule pas } \implies \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\end{cases}$
46$\text{Proposition 22.a : Caractérisation de la dérivabilité de fonctions à valeur dans } \mathbb C$
$f \text{ dérivable en } a \Longleftrightarrow \begin{cases} Re(f) \\ Im(f) \end{cases} \text{ dérivable en } a$
47$\text{Proposition 22.b : Formule de la dérivation de fonctions à valeur dans } \mathbb C$
$f'(a) = (Re(f))'(a) + i(Im(f))'(a)$
48$\text{Proposition 23 : Dérivée de } e^\varphi$
$\left(e^\varphi\right)' = \varphi' e^{\varphi}$