1$\text{Variable aléatoire}$
$\text{Application définie sur } \Omega \text{ à valeurs dans un ensemble } E$
2$\text{Événement } X^{-1}(A)$
$\{X \in A\} \text{ ou } (X \in A)$
3$\text{Univers image}$
$X(\Omega)$
4$\text{Loi d'une varaible aléatoire } X$
$\begin{array}{rccc}
\mathbb P_X: & \mathscr P(X(\Omega)) & \longrightarrow & [0, 1] \\
& A & \longmapsto & \mathbb P((X \in A))
\end{array}$
5$\text{Composée d'une variable aléatoire } X: \Omega \rightarrow E \text{ et d'une fonction } f: E \rightarrow F$
$Y = f \circ X$
6$\text{Une variable aléatoire } X: \Omega \rightarrow E = \{x_1, ..., x_n\} \text{ suit la loi uniforme sur } E$
$\forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket \quad \mathbb P(X = x_i) = \dfrac{1}{n}$
7$\text{Une variable aléatoire } X: \Omega \rightarrow \{0, 1\} \text{ suit la loi de Bernoulli de paramètre } p$
$P(X = 1) = p$
8$\text{Une variable aléatoire } X: \Omega \rightarrow \llbracket 0, n \rrbracket \text{ suit la loi Binomiale de taille } n \text{ et de paramètre } p$
$\forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket \quad P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
9$\text{Loi conjointe du couple } (X: \Omega \rightarrow E, Y: \Omega \rightarrow F)$
$\forall A \in \mathscr P(X(\Omega) \times Y(\Omega)) \quad \mathbb P_{(X, Y)} = \mathbb P(\{\omega \in \Omega | (X(\omega), Y(\omega)) \in A\})$
10$\text{Loi conditionnelle de } X: \Omega \rightarrow E \text{ sachant l'événement } B$
$\forall A \in \mathscr P(X(\Omega)) \quad Q(A) = \mathbb P(X \in A | B)$
11$\text{Deux variables aléatoires } X \text{ et } Y \text{ sont indépendantes}$
$\forall (A, B) \in \mathscr P(X(\Omega)) \times \mathscr P(Y(\Omega)) \quad \mathbb P((X \in A) \cap (Y \in B)) = \mathbb P(X \in A) \mathbb P(Y \in B)$
12$\text{Loi conjointe du n-uplet } (X_i: \Omega \rightarrow E_i)_{i \in \llbracket 1, n \rrbracket}$
$\forall A \in \mathscr P(X_1(\Omega) \times ... \times X_n(\Omega)) \quad \mathbb P_{(X_1, ..., X_n)}(A) = \begin{cases} \mathbb P(\{\omega \in \Omega | (X_1(\omega), ..., X_n(\omega)) \in A\} \\ \mathbb P((X_1, ..., X_n) \in A)\end{cases}$
13$\text{Famille de variables aléatoires } (X_i: \Omega \rightarrow E_i)_{i \in \llbracket 1, n \rrbracket} \text{ mutuellement indépendante}$
$\mathbb P((X_1 \in A_1) \cap ... \cap (X_n \in A_n)) = \mathbb P(X_1 \in A_1) \times ... \times \mathbb P(X_n \in A_n)$
14$\text{Espérance } \mathbb E \text{ d'une variable aléatoire réelle } X : \Omega \rightarrow \mathbb R$
$\mathbb E(X) = \sum_{\omega \in \Omega} X(\omega) \mathbb P(\{\omega\})$
15$\text{Moment d'ordre } k \text{ d'une variable aléatoire réelle } X: \Omega \rightarrow \mathbb R$
$\mathbb E(X^k)$
16$\text{Variance } \mathbb V \text{ d'une variable aléatoire réelle } X: \Omega \rightarrow \mathbb R$
$\mathbb V(X) = \mathbb E[(X-\mathbb E(X))^2]$
17$\text{Écart type } \sigma_X \text{ d'une variable aléatoire réelle } X: \Omega \rightarrow \mathbb R $
$\sigma_X = \sqrt{\mathbb V(X)}$
18$\text{Covariance de deux variables réelles } X, Y: \Omega \rightarrow \mathbb R$
$Cov(X, Y) = \mathbb E[(X-\mathbb E(X))(Y-\mathbb E(Y))]$
19$X \text{ et } Y \text{ sont non corrolées}$
$Cov(X, Y) = 0$