1$f: I \to \mathbb K \text{ est continue uniformément sur } I$
$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x_1, x_2) \in I^2 \quad |x_2 - x_1| \le \delta \implies |f(x_2) - f(x_1)|$
2$\sigma = (a_0, ..., a_n) \text{ est une subdivision de } [a, b]$
$\begin{cases} a_0 = a \\ a_n = b \\ a_0 < ... < a_n \end{cases}$
3$f: [a, b] \to \mathbb R \text{ est une fonction en escalier}$
$\exists \sigma = (a_0, ..., a_{n-1}) \quad \exists (c_0, ..., c_{n-1}) \in \mathbb R^n \quad \forall i \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket \quad \forall x \in ]a_i, a_{i+1}[ \quad f(x) = c_i$
4$f: [a, b] \to \mathbb R \text{ est continue par morceaux sur } [a, b]$
$\exists \sigma = (a_0, ..., a_n) \quad \forall i \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket \quad f|_{]a_i, a_{i+1}[} \text{ se prolonge par continuité sur } [a_i, a_{i+1}]$
5$\text{Une fonction est continue par morceau sur un intervalle}$
$\text{La restriction de cette fonction à n'importe quel segment est continue par morceaux}$
6$\text{Intégrale de } f: [a, b] \to \mathbb R \text{ en escalier de subdivision adaptée } \sigma = (a_0, ..., a_n)$
$\sum_{i=0}^{n-1} c_i (a_{i+1} - a_i)$
7$\text{Intégrale de } f:[a, b] \to \mathbb R \text{ continue sur } [a, b]$
$\sup_{g \in Esc^-(f)}\int_a^b g$
8$\text{Intégrale de } f:[a, b] \to \mathbb C \text{ continue sur } [a, b]$
$\int_a^b \Re(f) + \int_a^b \Im(f)$
9$\text{Intégrale de } f:[a, b] \to \mathbb R \text{ continue par morceaux de subdivision adaptée } \sigma = (a_0, ..., a_n)$
$\text{Pour tout } i \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket, f|_{]a_i, a_{i+1}[} \text{ se prolonge en une fonction continue } f_i$
$\text{L'intégrale de } a \text{ à } b \text{ de } f \text{ est alors } \sum_{i=0}^{n-1} \int_{a_i}^{a_{i+1}}f_i$
10$\text{Valeur moyenne de } f: [a, b] \to \mathbb K \text{ continue par morceaux sur } [a, b]$
$\dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx$
11$\text{Intégrale vide}$
$a = b \implies \int_a^b f = 0$
12$\text{Intégrale à l'envers}$
$a > b \implies \int_a^b f = -\int_b^a$