Définitions chp 15

$\text{Suite } (a_n) \in \mathbb K^n \text{ ne comptant qu'un nombre fini de termes non nuls}$

$P + Q = (a_n + b_n)_{n \in \mathbb N}$

$\lambda P = (\lambda a_n)_{n \in \mathbb N}$

$P \times Q = (c_n)_{n \in \mathbb N} \quad\text{ où }\quad \forall n \in \mathbb N, \quad c_n = \sum^n_{k=0}a_kb_{n-k} = \sum^n_{k=0}a_{n-k}b_k$

$\begin{cases}-\infty \quad \text{ si } P = 0_{\mathbb K[X]} \\ max(\{n \in \mathbb N / a_n \neq 0\}) \quad \text{ sinon} \end{cases}$

$X = (0, 1, 0, 0, ...) = (\delta_{1, n})_{n \in \mathbb N}$

$\mathbb K[X]$

$P \circ Q = P(Q) = \sum^n_{k=0}a_kQ^k$

$\forall k \in \mathbb N, a_{2k+1} = 0$

$\forall k \in \mathbb N, a_{2k} = 0$

$P(x) = \sum^{+\infty}_{k=0}a_kx^k$

$\begin{array}{rccc} \tilde P: & \mathbb K & \longrightarrow & \mathbb K \\ & x & \longmapsto & P(x) \end{array}$

$P(a) = 0$

$\exists Q \in \mathbb K[X], A = BQ$

$A \text{ divise } B \text{ et } B \text{ divise } A$

$\begin{cases}deg(P) \ge 1\\ \text{Les diviseurs de } P \text{ sont les polynômes constants non nuls et ses polynômes associés}\end{cases}$

$P' = \sum^{+\infty}_{k=0}a_kkX^{k-1} = \sum^{+\infty}_{k=1}(k+1)a_{k+1}X^k$

$\begin{cases}P^{(0)} = P \\ \forall k \in \mathbb N, P^{(k+1)}=(P^{(k)})'\end{cases}$

$\alpha \in \mathbb N^* \text{ tel que } \begin{cases}(X-a)^\alpha \text{ divise } P \\ (X-a)^{\alpha +1} \text{ ne divise pas } P\end{cases}$

$\text{Polynôme non nul dont la somme des ordres de multiplicités de ses racines vaut } deg(P)$