1$\text{Théorème 1 : Théorème fondamental de l'analyse}$
$\text{Soit } (f, a) \in \mathscr C^0(I, \mathbb R) \times I$
$\text{La fonction}$$\quad \begin{array}{rccc}
F: & I & \longrightarrow & \mathbb R \\
& x & \longmapsto & \int_a^x f(t)dt
\end{array}$$\text{ est dérivable sur } I \text{ et } F' = f$
2$\text{Corollaire 1 : Corollaire du théorème fondamental de l'analyse}$
$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$
3$\text{Propriété 1.a : Linéarité de l'intégrale}$
$\text{Pour tous } (f, g) \in \mathscr C^0(I, \mathbb R)^2, (\lambda, \mu) \in \mathbb R^2 \text{ et } (a, b) \in I^2$
$\int_a^b(\lambda f + \mu g) = \lambda \int_a^b f + \mu \int_a^b g$
4$\text{Propriété 1.b : Relation de Chasles}$
$\text{Pour tous } f \in \mathscr C^0(I, \mathbb R) \text{ et } (a, b, c) \in I^3$
$\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
5$\text{Propriété 1.c : Positivité de l'intégrale}$
$a \le b \text{ et } \forall x \in I \; f(x) \ge 0 \implies \int_a^b f \ge 0$
6$\text{Propriété 1.d : Croissance de l'intégrale}$
$a \le b \text{ et } \forall x \in I \; f(x) \le g(x) \implies \int_a^b f \le \int_a^b g$
7$\text{Propriété 1.d : Inégalité triangulaire}$
$a \le b \implies \left|\int_a^b f\right| \le \int_a^b |f|$
8$\text{Théorème 2 : Intégration par parties}$
$\text{Soit } (f, g, a, b) \in \mathscr C^1(I, \mathbb R) \times I^2$
$\int_a^b u'v = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^buv'$
9$\text{Théorème 3 : Changement de variables}$
$\text{Soit } (f, \varphi, a, b) \in \mathscr C^0(J, \mathbb R) \times \mathscr C^1(I, J) \times I^2$
$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f = \int_a^b f \circ \varphi \times \varphi'$
10$\text{Corollaire 2.a : Intégrale d'une fonction paire}$
$\int_{-a}^0 f = \int_0^a f \text{ et } \int_{-a}^{a} f = 2 \int_0^a f$
11$\text{Corollaire 2.b : Intégrale d'une fonction impaire}$
$\int_{-a}^0 f = -\int_0^a f \text{ et } \int_{-a}^{a} f = 0$
12$\text{Corollaire 3 : Intégrale d'une fonction T-périodique}$
$\forall (a, b) \in \mathbb R^2 \quad \int_a^{a + T} f = \int_b^{b + T}f = \int_0^T f$