1$\text{Proposition 1.a : Somme de nombres complexes}$
$z + z' = (x + x') + i(y + y')$
2$\text{Proposition 1.b : Produit de nombres complexes}$
$zz' = (xx' - yy') + i(xy' + yx')$
3$\text{Propriété 1.a : Calcul avec le conjugué de complexes}$
$\begin{cases} \overline{\overline z} = z \\ \overline{z + z'} = \overline z + \overline{z'} \\ \overline{zz'} = \overline z \overline{z'} \\ z \neq 0 \implies \overline{\big(\frac{z'}{z}\big)} = \frac{\overline{z'}}{\overline z} \end{cases}$
4$\text{Propriété 1.b : Cas } \begin{cases}z = \overline z \\ z = -\overline z\end{cases}$
$\begin{cases} z = \overline z \implies z \in \mathbb R \\ z = -\overline z \implies z \in i\mathbb R\end{cases}$
5$\text{Propriété 1.c : Homogénéité du conjugué}$
$\forall \lambda \in \mathbb R \quad \overline{\lambda z} = \lambda \overline z$
6$\text{Propriété 1.d : Formule de } Re(z) \text{ et } Im(z)$
$\begin{cases} Re(z) = \frac{z + \overline z}{2} \\ Im(z) = \frac{z - \overline z}{2}\end{cases}$
7$\text{Propriété 1.e : Homogénéité de } Re \text{ et } Im$
$\forall \lambda \in \mathbb R \quad \begin{cases}Re(\lambda z) = \lambda Re(z) \\ Im(\lambda z) = \lambda Im(z)\end{cases}$
8$\text{Propriété 2.a, b, c, d, e, f, g : Propriétés du module}$
$\begin{cases}|z| \ge 0 \text{ et } |z|^2 = z \overline z \\ |z| = 0 \Longleftrightarrow z = 0 \\ \forall \lambda \in \mathbb R^+ \quad |\lambda z| = \lambda |z| \\ |\overline z| = |z| = |-z| = |-\overline z| \\ |Re(z)| \le |z| \text{ et } |Im(z)| \le |z| \\ Re(z) = |z| \Longleftrightarrow z \in \mathbb R^+ \text{ et } Im(z) = |z| \Longleftrightarrow z \in i\mathbb R^+ \\ |Re(z)| = |z| \Longleftrightarrow z \in \mathbb R \text{ et } |Im(z)| = |z| \Longleftrightarrow z \in i\mathbb R \\ |zz'| = |z||z'| \text{ et } z \neq 0 \implies \left| \frac{z'}{z} \right| = \frac{|z'|}{|z|}\end{cases}$
9$\text{Propriété 2.i, j : Inégailité triangulaire avec le module}$
$\begin{cases} |z \pm z'| \le |z| + |z'| \\ |z \pm z'| \ge \left||z|-|z'|\right|\end{cases}$
10$\text{Propriété 3.a, b : Propriétés forme trigonométrique d'un complexe}$
$\begin{cases} |e^{i\theta}| = 1 \\ \overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} \\ e^{i(\theta + \theta')} = e^{i\theta} e^{i\theta'} \\ \left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}\end{cases}$
11$\text{Propriété 3.c : Formules d'Euler}$
$\begin{cases}cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \\ sin(\theta) = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\end{cases}$
12$\text{Propriété 3.d : Formule de Moivre}$
$\left(cos(\theta) + i sin(\theta)\right)^n = cos(n\theta) + i sin(n\theta)$
13$\text{Théorème 1 : Propriétés de } \begin{array}{rccc}
\varphi: & \mathbb R & \longrightarrow & \mathbb U \\
& \theta & \longmapsto & e^{i\theta}
\end{array}$
$\begin{cases}\varphi \text{ est surjective } \\ \forall (\theta, \theta') \in \mathbb R^2 \quad \varphi(\theta + \theta') = \varphi(\theta) \varphi(\theta')\end{cases}$
14$\text{Corollaire 1 : Égalité des formes exponentielle}$
$\forall (r, r') \in \mathbb (R^*_ +)^2 \quad \forall (\theta, \theta') \in \mathbb R^2 \quad re^{i\theta} = r'e^{i\theta'} \Longleftrightarrow \begin{cases}r = r' \\ \theta \equiv \theta' \pmod{2\pi}\end{cases}$
15$\text{Propriété 4 : Propriété des arguments}$
$\begin{cases}\theta + \theta' \text{ est un argument de } zz' \\ -\theta \text{ est un argument de } \frac{1}{z} \\ \theta - \theta' \text{ est un argument de } \frac{z}{z'} \\ -\theta \text{ est un argument de } \overline z \end{cases}$
16$\text{Proposition 2 : Expression de } \mathbb U_n$
$\mathbb U_n = \left\{e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right\}_{k\in\llbracket0, n-1\rrbracket}$
17$\text{Proposition 3 : Nombre de solutions de l'équation } z^n = z_0$
$\text{Cette équation admet exactement } n \text{ solutions}$
18$\text{Corollaire 2 : Racines carrées de nombres complexes}$
$\text{Tout nombre complexe non nul admet exactement 2 racines opposées l'une à l'autre}$
19$\text{Proposition 5 : Résolution de } ax^2 + bx + c \text{ pour } (a, b, c) \in \mathbb R^3$
$\text{On a } \Delta = b^2 - 4ac$
$\begin{cases} \Delta > 0 \implies z_{1, 2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2} \\ \Delta = 0 \implies z_0 = -\frac{b}{2a} \\ \Delta < 0 \implies z_{1, 2} = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2}\end{cases}$
20$\text{Proposition 6 : Résolution de } ax^2 + bx + c \text{ pour } (a, b, c) \in \mathbb C^3$
$\text{On a } \Delta = b^2 - 4ac \text{ et } \delta \text{ une racine carrée de } \Delta$
$\begin{cases} \Delta \neq 0 \implies z_{1, 2} = \frac{-b \pm \delta}{2} \\ \Delta = 0 \implies z_0 = -\frac{b}{2a}\end{cases}$
21$\text{Proposition 7 : Parité et imparité des fonctions trigonométriques}$
$\begin{cases} \cos \text{ est paire} \\ \sin \text{ et } \tan \text{ sont impaires}\end{cases}$
22$\text{Proposition 8 : Expression de } a cos(t) + b sin(t)$
$\exists (A, \varphi) \in \mathbb R^+ \times \mathbb R \quad \forall t \in \mathbb R \quad a cos(t) + b sin(t) = A cos(t - \varphi)$