1$\text{Règle de calcul dans un ev n°1 : vecteur nul}$
$0 \vec u = \vec 0$
2$\text{Règle de calcul dans un ev n°2 : opposé de vecteur}$
$-\vec u = -1 \cdot \vec u$
3$\text{Règle de calcul dans un ev n°3 : distributivité de } \cdot \text{ sur } -$
$\lambda(\vec u - \vec v) = \lambda \vec u - \lambda \vec v$
4$\text{Règle de calcul dans un ev n°4 : produit d'une différence de scalaires}$
$(\lambda - \mu) \vec u = \lambda \vec u - \mu \vec u$
5$\text{Règle de calcul dans un ev n°5 : produit facteur nul}$
$\lambda \vec u = 0 \Longleftrightarrow \lambda = 0 \text{ ou } \vec u = \vec 0$
6$\text{Proposition 1 : Produit cartésien d'ev}$
$\text{Le produit cartésien de deux ev est un ev en prenant les lois suivantes : }$
$\begin{cases}(\vec u_1, \vec v_1) + (\vec u_2, \vec v_2) = (\vec u_1 + \vec u_2, \vec v_1 + \vec v_2) \\ \lambda(\vec u, \vec v) = (\lambda \vec u, \lambda \vec v)\end{cases}$
7$\text{Proposition 2 : Caractérisation des sev}$
$\begin{cases} F \subset E \\ F \neq \emptyset \\ \forall \lambda \in \mathbb K \quad \forall (\vec u, \vec v) \in F^2 \quad \lambda\vec u + \vec v \in F\end{cases}$
8$\text{Théorème 1 : Lien entre sev et ev}$
$\text{Un sev muni des loi induites est un ev}$
9$\text{Proposition 3 : Intersection de sev}$
$\text{Si } (F_i)_{i \in I} \text{ est une famille de sev de } E \text{, alors } \bigcap_{i \in I}F_i \text{ est un sev de } E$
10$\text{Théorème 2 : Plus petit sev}$
$\text{Soient } E \text{ un sev et } A \subset E.$
$\text{Il existe un plus petit (au sens de l'inclusion) sev de } E \text{ contenant } A$
11$\text{Propriété 1 : Propriétés des sev}$
$\begin{cases}F \text{ sev de } E \text{ tel que } A \subset E \implies Vect(A) \subset F \\ Vect(A) = A \Longleftrightarrow A \text{ est un sev de } E \\ A \subset B \implies Vect(A) \subset Vect(B)\end{cases}$
12$\text{Théorème 3 : Expression de } Vect( \vec x_1, ..., \vec x_p)$
$Vect( \vec x_1, ..., \vec x_p) = \{\sum^p_{k=0}\lambda_k \vec x_k, (\lambda_k)_{k \in \llbracket 1, p \rrbracket}\}$
13$\text{Propriété 2 : Propriétés des familles libres}$
$\begin{cases}(\vec x) \text{ libre } \Longleftrightarrow \vec x \neq \vec 0 \\ (\vec x_i)_{i \in I} \text{ libre } \Longleftrightarrow \forall i \in I, \vec x_i \neq \vec 0 \\ \mathscr F \text{ une famille libre de cardinal } \ge 2 \text{ liée } \Longleftrightarrow \text{ un des vecteurs de } \mathscr F \text{ s'exprime comme une combinaison linéaire des autres vecteurs} \\ (\vec x_1, ..., \vec x_n) \text{ libre et } \vec x_1, ..., \vec x_n, \vec x_{n+1}) \text {liée} \implies \vec x_{n+1} \text{ s'exprime comme une combinaison linéaire de } \vec x_1, ... \vec x_n \end{cases}$
14$\text{Proposition 4 : Famillle finie de polynômes échellonés}$
$0 \le deg(P_1 < ... < deg(P_n) \implies (P_1, ..., P_n) \text{ est une famille libre}$
15$\text{Corollaire 1 : Application directe de la proposition 4}$
$\forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket \quad deg(P_k) = k \implies P_0, ..., P_n \text{ linéairement indépendant}$
16$\text{Proposition 5 : Caractérisation d'une base}$
$\mathscr B \text{ est une base } \Longleftrightarrow \forall x \in E \text{, } x \text{ s'exprime comme une unique combinaison linéaire de vecteurs de } \mathscr B$
17$\text{Proposition 6 : Somme de sev est sev}$
$F + G \text{ est un sev de } E$
18$\text{Proposition 7 : Expression d'un élément d'une somme directe}$
$\forall \vec x \in F \oplus G \quad \exists ! (\vec u, \vec v) \in F \times G \quad \vec x = \vec u + \vec v$
19$\text{Proposition 8 : Caractérisation d'une somme directe}$
$F \text{ et } G \text{ en somme directe } \Longleftrightarrow F \cap G = \{\vec0\}$
20$\text{Proposition 9 : Somme de plusieurs sev}$
$E_1 + ... + E_n = Vect(E_1 \cup ... \cup E_n)$
21$\text{Proposition 10 : Associativité et commutativité de } +$
$\begin{cases}E_1 + E_2 + E_3 = E_1 + (E_2 + E_3) = (E_1 + E_2) + E_3 \\ E_1 + E_2 = E_2 + E_1 \end{cases}$
22$\text{Proposition 11 : Expression d'un élément d'une somme directe de plusieurs ensembles}$
$\forall \vec x \in E_1 \oplus ... \oplus E_2 \quad \exists ! (\vec u_1, ..., \vec u_n) \in E_1 \times ... \times E_n \quad \vec x = \vec u_1 + ... + \vec u_n$
23$\text{Proposition 12 : Concaténation de familles génératrices}$
$\begin{cases}(\vec u_1, ..., \vec u_p) \text{ génératrice de } F \\ (\vec v_1, ..., \vec v_q) \text{ génératrice de } G \end{cases} \implies (\vec u_1, ..., \vec u_p, \vec v_1, ..., v_q) \text{ génératrice de } F + G$
24$\text{Proposition 13 : Concaténation de familles libres}$
$\begin{cases}(\vec u_1, ..., \vec u_p) \text{ libre de } F \\ (\vec v_1, ..., \vec v_q) \text{ libre de } G \\ F \text{ et } G \text{ en somme directe} \end{cases} \implies (\vec u_1, ..., \vec u_p, \vec v_1, ..., v_q) \text{ libre de } F \oplus G$
25$\text{Corollaire 2 : Concaténation de bases}$
$\begin{cases}(\vec u_1, ..., \vec u_p) \text{ base de } F \\ (\vec v_1, ..., \vec v_q) \text{ base de } G \\ F \text{ et } G \text{ en somme directe} \end{cases} \implies (\vec u_1, ..., \vec u_p, \vec v_1, ..., v_q) \text{ base de } F \oplus G$
26$\text{Proposition 14 : Lien entre famille libre et somme directe}$
$(\vec u_1, ..., \vec u_p, \vec v_1, ..., v_q) \text{ famille libre de } E \implies Vect(\vec u_1, ..., \vec u_p) \text{ et } Vect(\vec v_1, ..., \vec v_q) \text{ sont en somme directe}$