1$\text{Théorème 1.1 : image d'un sev par une application linéaire}$
$\text{l'image d'un sev par une application linéaire est un sev}$
2$\text{Théorème 1.2 : image réciproque d'un sev par une application linéaire}$
$\text{l'image réciproque d'un sev par une application linéaire est un sev}$
3$\text{Proposition 1 : Lien entre sev } Ker \text{ et } Im$
$Ker(f) \text{ et } Im(f) \text{ sont des sev}$
4$\text{Proposition 2.a : Caractérisation de l'injectivité de } f: E \rightarrow F$
$f \text{ injective } \Longleftrightarrow Ker(f) = \{0_E\}$
5$\text{Proposition 2.b: Caractérisation de la surjectivité de } f : E \rightarrow F$
$f \text{ surjective } \Longleftrightarrow Im(f) = F$
6$\text{Proposition 3.a : Caractérisation de la nullité d'une forme linéaire}$
$f = 0 \Longleftrightarrow Im(f) = \{0\}$
7$\text{Proposition 3.b : Caractérisation de la non-nullité d'une forme linéaire}$
$f \neq 0 \Longleftrightarrow Im(f) = \mathbb K \Longleftrightarrow f \text{ surjective}$
8$\text{Proposition 4.a : Image d'une famille libre par un application linéaire injective}$
$f \text{ injective et } \mathscr F \text{ libre } \implies f(\mathscr F) \text{ libre}$
9$\text{Proposition 4.b : Image d'une famille génératrice par un application linéaire surjective}$
$f: E \rightarrow F \text{ surjective et } \mathscr F \text{ génératrice de } E \implies f(\mathscr F) \text{ génératrice de } F$
10$\text{Proposition 4.c : Image d'une base par un isomorphisme}$
$f: E \rightarrow F \text{ bijective et } \mathscr F \text{ base de } E \implies f(\mathscr F) \text{ base de } F$
11$\text{Théorème 2 : Existence d'un morphisme tel que l'image d'une base est une famille}$
$\text{Pour toute base } \mathscr B \text{ de } E \text{ et pour toute famille } \mathscr C \text{ de } F,$
$\text{ il existe } f: E \rightarrow F \text{ tel que } f(\mathscr B) = \mathscr C$
$\text{De plus : } \begin{cases} f \text{ injective } \Longleftrightarrow \mathscr C \text{ libre} \\ f \text{ surjective } \Longleftrightarrow \mathscr C \text{ génératrice de } F \\ f \text{ bijective } \Longleftrightarrow \mathscr C \text{ base de } F\end{cases}$
12$\text{Proposition 5 : } \mathscr L(E, F) \text{ point de vue algébrique}$
$\mathscr L(E, F) \text{ est un sev de } \mathscr F(E, F)$
13$\text{Proposition 6 : } \mathscr L(E) \text{ point de vue algébrique}$
$(\mathscr L(E), +, \circ) \text{ est un anneau et } Inv(\mathscr L(E)) = GL(E)$
14$\text{Théorème 3 : Fusion d'application linéaire}$
$\text{Soient } E \text{ et } H \text{ des ev et } F \text{ et } G \text{ des sev de sorte que } F \oplus G = E.$
$\text{Pour tout }(f, g) \in \mathscr L(F, H) \times \mathscr L(G, H), \text{ il existe une unique } \Phi \in \mathscr L(E, H) \text{ tel que }$
$\begin{cases} \forall x \in F \quad \Phi(x) = f(x) \\ \forall x \in G \quad \Phi(x) = g(x)\end{cases}$
15$\text{Théorème 4.a : Puissance de projecteur vectoriel}$
$p \circ p = p$
16$\text{Théorème 4.b : Noyau de la projection sur } E_1 \text{ parallèlement à } E_2$
$Ker(p) = E_2$
17$\text{Théorème 4.c : Image de la projection sur } E_1 \text{ parallèlement à } E_2$
$Im(p) = E_1 = Ker(p - Id)$
18$\text{Théorème 4.d.1 : Somme de projecteurs vectoriels}$
$\text{En notant } p_1 (\text{resp } p_2) \text{ la projection sur } E_1 (\text{resp } E_2) \text{ parallèlement à } E_2 (\text{resp }E_1),$
$p_1 + p_2 = Id_E$
19$\text{Théorème 4.d.2 : Composée de projecteurs vectoriels}$
$\text{En notant } p_1 (\text{resp } p_2) \text{ la projection sur } E_1 (\text{resp } E_2) \text{ parallèlement à } E_2 (\text{resp }E_1),$
$p_1 \circ p_2 = 0_{\mathscr L(E)}$
20$\text{Théorème 5 : Équivalence des définitions de projecteur}$
$p \text{ projecteur } \Longleftrightarrow Ker(p) \oplus Ker(p - Id) = E$
21$\text{Théorème 6.1 : Puissance de symétrie vectorielle}$
$s \circ s = Id$
22$\text{Théorème 6.2 : Noyau d'une symétrie vectorielle de } E_1 \text{ parallèlement à } E_2$
$\text{En notant } s \text{ la symétrie vectorielle par rapport à } E_1 \text{ parallèlement à } E_2, $
$\begin{cases}Ker(s-Id) = E_1 \\ Ker(s+Id) = E_2\end{cases}$
23$\text{Théorème 6.3 : Lien entre symétrie vectorielle et projecteurs}$
$\text{En notant } \begin{cases}s \text{ la symétrie vectorielle par rapport à } E_1 \text{ parallèlement à } E_2 \\ p_1 \text{ la projection sur } E_1 \text{ parallèlement à } E_2 \\ p_2 \text{ la projection sur } E_2 \text{ parallèlement à } E_1\end{cases}$
$s = p_1 - p_2 = Id -2p_2 = 2p_1 - Id$
24$\text{Théorème 7 : Équivalence des définitions de symétrie}$
$s \text{ symétrie } \Longleftrightarrow Ker(s-Id) \oplus Ker(s+Id) = E$