1$\text{Proposition 1 : Ensemble de solution de } (E'): y' = ay$
$\text{En notant } A \text{ une primitive de } a \quad \mathscr S' = \{\lambda e^A\}_{\lambda \in \mathbb K^*}$
2$\text{Proposition 2 : Caractérisation des solutions de } (E): ay' + by = c$
$\text{En notant } f_0 \text{ une solution particulière et } (E') \text{ l'équation homogène associée à } (E)$
$\forall f \in \mathscr F(I, \mathbb K) \quad f \in \mathscr S \Longleftrightarrow f - f_0 \in \mathscr S'$
3$\text{Théorème 1 : Existence des solutions de } (E): ay' + by = c$
$(a, b, c) \in C^0(I, \mathbb K) \text{ et } \forall x \in I \; a(x) \neq 0 \implies \mathscr S \neq \emptyset$
4$\text{Théorème 2 : Unicité des solutions d'un problème de Cauchy } (\mathscr P) : \begin{cases} (E): ay' + by = c \\ y(x_0) = y_0\end{cases}$
$(E) \text{ est à coefficients continus et est normalisable } \implies \exists! f \in \mathscr F(I, \mathbb K) \text{ vérifiant }(\mathscr P)$
5$\text{Proposition 3 : Principe de superposition pour les équations d'ordre 1}$
$\text{En ayant } \begin{cases}(E): ay' + by = c \\ \forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket \quad (E_k): ay' + by = \alpha_k c_k \\ c = \sum_{k = 1}^n \alpha_k c_k\end{cases}$
$\forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket \quad g_k \in \mathscr S_k \implies \sum_{k = 1}^n \alpha_k g_k \in \mathscr S$
6$\text{Théorème 3 : Ensemble de solution dans } \mathbb C \text{ de } (E'): ay'' + by' + cy = 0$
$\text{En notant } (EC): ax^2 + bx + c = 0$
$\begin{cases} \mathscr S_{EC} = \{x_1, x_2\} \implies \mathscr S' = \left\{\begin{array}{rccc}
& I & \longrightarrow & \mathbb C \\
& x & \longmapsto & \lambda e^{x_1x} + \mu e^{x_2x}
\end{array}\right\}_{(\lambda, \mu) \in \mathbb C^2} \\ \mathscr S_{EC} = \{x_0\} \implies \mathscr S' = \left\{\begin{array}{rccc}
& I & \longrightarrow & \mathbb C \\
& x & \longmapsto &e^{x_0x}(\lambda + \mu t)
\end{array}\right\}_{(\lambda, \mu) \in \mathbb C^2}\end{cases}$
7$\text{Théorème 4 : Ensemble de solution dans } \mathbb R \text{ de } (E'): ay'' + by' + cy = 0$
$\text{En notant } (EC): ax^2 + bx + c = 0$
$\begin{cases}
\mathscr S_{EC} = \{x_1, x_2\} \implies \mathscr S' = \left\{
\begin{array}{rccc}
& I & \longrightarrow & \mathbb R \\
& x & \longmapsto & \lambda e^{x_1x} + \mu e^{x_2x}
\end{array}
\right\}_{(\lambda, \mu) \in \mathbb R^2} \\
\mathscr S_{EC} = \{x_0\} \implies \mathscr S' = \left\{
\begin{array}{rccc}
& I & \longrightarrow & \mathbb R \\
& x & \longmapsto &e^{x_0x}(\lambda + \mu t)
\end{array}
\right\}_{(\lambda, \mu) \in \mathbb R^2} \\
\mathscr S_{EC} = \{\alpha \pm i\beta\} \implies \mathscr S' = \left\{
\begin{array}{rccc}
& I & \longrightarrow & \mathbb R \\
& x & \longmapsto & e^{\alpha x}(\lambda cos(\beta x) + \mu sin(\beta x))
\end{array}
\right\}_{(\lambda, \mu) \in \mathbb R^2}
\end{cases}$
8$\text{Proposition 4 : Caractérisation des solutions de } (E): ay'' + by' + cy = d$
$\text{En notant } f_0 \text{ une solution particulière et } (E') \text{ l'équation homogène associée à } (E)$
$\forall f \in \mathscr F(I, \mathbb K) \quad f \in \mathscr S \Longleftrightarrow f - f_0 \in \mathscr S'$
9$\text{Proposition 3 : Principe de superposition pour les équations d'ordre 2}$
$\text{En ayant } \begin{cases}(E): ay'' + by' + cy = d \\ \forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket \quad (E_k): ay'' + by' + cy = \alpha_k d_k \\ d = \sum_{k = 1}^n \alpha_k d_k\end{cases}$
$\forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket \quad g_k \in \mathscr S_k \implies \sum_{k = 1}^n \alpha_k g_k \in \mathscr S$
10$\text{Théorème 5 : Théorème de Cauchy-Lipschitz}$
$\text{Le problème de Cauchy } (\mathscr P) : \begin{cases} (E): ay'' + by' + cy = d \\ y(x_0) = y_0 \\ y'(x_0) = y_1\end{cases} \text{ admet une unique solution}$