1$\text{Proposition 1.a : Élément neutre pour } +$
$0_{\mathbb K[X]} = (0)_{n \in \mathbb N}$
2$\text{Proposition 1.b : Élément neutre pour } \times$
$1_{\mathbb K[X]} = (1, 0, 0, ...)$
3$\text{Proposition 1.c : Distributivité de } \cdot \text{ sur } +$
$\begin{cases}\lambda(P + Q) = \lambda P + \lambda Q \\ (\lambda + \mu)P = \lambda P + \mu P\end{cases}$
4$\text{Proposition 1.d : Associativité mixte}$
$\lambda(\mu P) = (\lambda\mu)P$
5$\text{Proposition 1.e : Scalaire neutre}$
$1 \cdot P = P$
6$\text{Propriétés 1.a : Degré d'une somme (cas général)}$
$deg(P + Q) \le \max(deg(P), deg(Q))$
7$\text{Propriétés 1.b : Degré d'une somme (cas où } deg(P) \neq deg(Q) \text{)}$
$deg(P) \neq deg(Q) \implies deg(P + Q) = \max(deg(P), deg(Q))$
8$\text{Propriétés 1.c : Degré d'un produit}$
$deg(P \times Q) = deg(P) + deg(Q)$
9$\text{Corollaire 1 : Équation produit nul}$
$P \times Q = 0_{\mathbb K[X]} \Longleftrightarrow P = 0_{\mathbb K[X]} \text{ ou } Q = 0_{\mathbb K[X]}$
10$\text{Corollaire 2 : Intégrité de l'anneau des polynômes}$
$(\mathbb K[X], +, \times) \text{ est un anneau intègre}$
11$\text{Proposition 2.a : Caractérisation de la parité d'un polynôme}$
$P \text{ pair } \Longleftrightarrow P(-X) = P$
12$\text{Proposition 2.b : Caractérisation de l'imparité d'un polynôme}$
$P \text{ impair } \Longleftrightarrow P(-X) = -P$
13$\text{Théorème 1 : Propriétés de } \begin{array}{rccc}
\Psi: & \mathbb K[X] & \longrightarrow & \mathscr F( \mathbb K, \mathbb K) \\
& x & \longmapsto & P(x)
\end{array} $
$\forall(\lambda, \mu, P, Q) \in \mathbb K^2 \times \mathbb K[X]^2, \begin{cases} \Psi (\lambda P + \mu Q) = \lambda \Psi (P) + \mu \Psi (P) \\ \Psi (P \times Q) = \Psi (P) \times \Psi (Q)\end{cases}$
14$\text{Corollaire 3 : } \begin{array}{rccc}
\Psi: & \mathbb K[X] & \longrightarrow & \mathscr F( \mathbb K, \mathbb K) \\
& P & \longmapsto & \tilde{P}
\end{array} \text{ point de vue algébrique}$
$\Psi \text{ est un morphisme de l'anneau } (\mathbb K[X], +, \times) \text{ sur l'anneau } (\mathscr F(\mathbb K, \mathbb K), +, \times )$
15$\text{Proposition 3 : Éléments inversibles de } \mathbb K[X]$
$Inv(\mathbb K[X]) = \{P \in \mathbb K[X] | deg(P) = 0\}$
16$\text{Théorème 2 : Division euclidienne}$
$\forall (A, B) \in \mathbb K[X] \times \mathbb K[X]^*, \exists ! (Q, R) \in \mathbb K[X]^2, \begin{cases}A = BQ + R \\ deg(R) < deg(B)\end{cases}$
17$\text{Proposition 4 : Ensemble des diviseurs de } 1_{\mathbb K[X]}$
$D(1_{\mathbb K[X]}) = \{P \in \mathbb K[X] | deg(P) > 0\}$
18$\text{Proposition 5 : Caractérisation des polynômes associés}$
$A \text{ et } B \text{ sont associés } \Longleftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb K^*, A = \lambda B$
19$\text{Corrolaire 4 : Unicité du polynôme associé unitaire}$
$\text{Pour tout } P \in \mathbb K[X], \text{ il existe un unique } Q \in \mathbb K[X] \text{ tel que } Q \text{ soit unitaire.}$
$\text{On a alors, en notant } \alpha \text{ le coefficient dominant de } P, P = \alpha Q$
20$\text{Proposition 6 : Caractérisation des racines d'un polynôme}$
$a \text{ est une racine de } P \Longleftrightarrow P \text{ est divisible par } X-a$
21$\text{Corrolaire 5 : Généralisation de la caractérisation des racines d'un polynôme}$
$(a_1, a_2, ..., a_n) \text{ sont des racines de } P \Longleftrightarrow P \text{ est divisible par } (X-a_1)(X-a_2)...(X-a_n)$
$\Longleftrightarrow \exists Q \in \mathbb K[X], P = (X-a_1)(X-a_2)...(X-a_n)Q$
22$\text{Corrolaire 6 : Décomposition d'un polynôme comme produit de } X-a_k$
$\text{En notant } u \text{ le coefficient dominant de } P,$
$(a_1, ..., a_{deg(P)}) \text{ racine de } P \Longleftrightarrow P = u\prod^{deg(P)}_{k=1}(X-x_k)$
23$\text{Théorème 3 : Majoration du nombre de racines}
$\text{Pour tout } P \in \mathbb K[X]^*, P \text{ admet au plus } deg(P) \text{ racines}$
24$\text{Corollaire 7 : Cas où un polynôme admet trop de racines}
$\text{Si } P \text{ admet plus que } deg(P) \text{ racines, alors } P = 0_{\mathbb K[X]}$
25$\text{Corollaire 8 : Cas où un polynôme admet une infinité de racines}
$\text{Si } P \text{ admet une infinité de racines, alors } P = 0_{\mathbb K[X]}$
26$\text{Corollaire 9 : Condition d'injectivité de } \begin{array}{rccc}
\Psi: & \mathbb K[X] & \longrightarrow & \mathscr F( \mathbb K, \mathbb K) \\
& x & \longmapsto & P(x)
\end{array}$
$Card(\mathbb K) = + \infty \implies \Psi \text{ injective}$
27$\text{Proposition 7 : Caractérisation de l'irréductibilité d'un polynôme}$
$P \text{ irréductible } \Longleftrightarrow \big(\forall (A, B) \in \mathbb K[X]^2 \quad P = AB \implies A \in {\mathbb K_0[X]} \text{ ou } B \in {\mathbb K_0[X]}\big)$
28$\text{Théorème 4 : Décomposition d'un polynôme comme produit de polynômes irréductibles}$
$\text{En prenant, } \begin{cases} (P_1, P_2, ..., P_r) \in \mathbb K[X]^r \text{ irréductibles et deux à deux distincts} \\ (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_r) \in \mathbb (N^*)^r \\ u \text{ le coefficient dominant de } P\end{cases}$
$P = u \prod^r_{k=1}P_i^{\alpha_i}$
29$\text{Théorème 5 : Théorème de d'Alembert-Gauss}$
$\forall P \in \mathbb C[X] \quad deg(P) \ge 1 \implies P \text{ admet au moins une racine}$
30$\text{Corollaire 10 : Polynômes irréductibles de } \mathbb C[X]$
$\forall P \in \mathbb C[X] \quad P \text{ irréductible } \Longleftrightarrow deg(P) = 1$
31$\text{Théorème 6 : Polynôme irréductible de } \mathbb R[X]$
$\forall P \in \mathbb R[X] \quad P \text{ irréductible } \Longleftrightarrow deg(P) = 1 \text{ ou } \begin{cases} deg(P) = 2 \\ \Delta < 0 \end{cases}$
32$\text{Proposition 8.a : Degré du polynôme dérivé (cas } deg(P) \ge 1 \text{)}$
$deg(P') = deg(P) - 1$
33$\text{Proposition 8.b : Degré du polynôme dérivé (cas } deg(P) \le 0 \text{)}$
$\begin{cases} P' = 0_{\mathbb K[X]} \\ deg(P') = -\infty\end{cases}$
34$\text{Corollaire 11 : Caractérisation des polynômes constants}$
$\forall P \in \mathbb K[X] \quad P \text{ constant } \Longleftrightarrow P' = 0_{\mathbb K[X]}$
35$\text{Propriété 2.a : Dérivé d'une combinaison linéaire de polynôme}$
$(\lambda P + \mu Q)' = \lambda P' + \mu Q'$
36$\text{Propriété 2.b : Dérivé d'un produit de polynôme}$
$(PQ)' = P'Q + PQ'$
37$\text{Propriété 2.c : Dérivé d'une composée de polynôme}$
$(P \circ Q)' = Q' \times P' \circ Q$
38$\text{Propriété 2.d : Dérivé d'un polynôme élevé à une puissance}$
$(P^n)' = nP'P^{n-1}$
39$\text{Proposition 9 : Caractérisation d'un polynôme de degré } \le n$
$\forall P \in \mathbb K[X] \quad deg(P) \le n \Longleftrightarrow P^{(n+1)} = 0_{\mathbb K[X]}$
40$\text{Théorème 7 : Formule de Leibniz}$
$(P \times Q)^n = \sum^n_{k=0} \binom{n}{k} \times P^{(n-k)} \times Q^{(k)}$
41$\text{Théorème 8 : Formule de Taylor}$
$P = \sum^{deg(P)}_{k=0} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k = \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}(X-a)^k$
$P(X-a) = \sum^{deg(P)}_{k=0} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}X^k = \sum^{+\infty}_{k=0} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}X^k$
42$\text{Théorème 8 : Réciproque de la formule de Taylor}$
$P = \sum^{deg(P)}_{k=0}a_k(X-a)^k \implies \begin{cases} \forall k \in \llbracket 0, n\rrbracket \quad a_k = \frac{P^{(k)}(a)}{k!} \\\forall k > n \quad P^{(k)} = 0_{\mathbb K [X]} \end{cases}$
43$\text{Théorème 9 : Caractérsation de la multiplicité d'une racine}$
$a \text{ est une racine de } P \text{ d'ordre de multiplicité } k \Longleftrightarrow \begin{cases}P(a) = P'(a) = ... = P^{(k-1)}(a) = 0 \\ P^{(k)} \neq 0\end{cases}$
44$\text{Proposition 10 : Majoration de la somme des ordres de multiplicités}$
$\text{En notant } (\alpha_1, \alpha_1, ..., \alpha_r) \text{ les ordres de multiplicités des racines distinctes de } P$
$\sum^r_{k=1}\alpha_k \le deg(P)$
45$\text{Proposition 11 : Formule pour calculer } \sigma_k$
$\text{En notant } (x_1, x_2, ..., x_n) \text{ une liste de racine de } P \text{ de degré } d$
$\sigma_k(x_1, x_2, ..., x_d) = (-1)^k \times \frac{a_{d-k}}{a_d}$
46$\text{Corollaire 12 : Relation coefficients / racines pour les polynômes de degré 2}$
$\text{En notant } P = aX^2 + bX + c \text{ et } (x, y) \text{ les 2 racines d'une polynôme}, \begin{cases}x+y = -\frac{b}{a} \\ xy = \frac{c}{a}\end{cases}$