1$\text{Proposition 1 : Propriété de la loi d'une variable aléatoire } X$
$\mathbb P_X \text{ est une probabilité}$
2$\text{Proposition 2 : Fonction indicatrice et loi de Bernoulli}$
$\mathbb 1_A \sim \mathscr B(\mathbb P(A))$
3$\text{Lemme 2 : Propriété de l'application } \{k\} \mapsto \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
$\begin{array}{rccc}
\mathbb P: & \mathscr P(\llbracket 0, n \rrbracket) & \longrightarrow & \mathbb R \\
& \{k\} & \longmapsto & \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}
\end{array} \text{ est une probabilité}$
4$\text{Proposition 3 : Propriété de la loi conditionnelle de } X \text{ sachant } B$
$\begin{array}{rccc}
\mathbb P': & \mathscr P(X(\Omega)) & \longrightarrow & [0, 1] \\
& A & \longmapsto & \mathbb P(X \in A | B)
\end{array} \text{ est une probabilité}$
5$\text{Proposition 4 : Caractérisation de l'indépendance de deux variables aléatoires } X \text{ et } Y$
$X \text{ et } Y \text{ indépendantes }$
$ \Longleftrightarrow \forall (x, y) \in X(\Omega) \times Y(\Omega) \quad \mathbb P((X = x) \cap (Y = y)) = \mathbb P(X = x) \times \mathbb P(Y = y)$
6$\text{Proposition 5 : Caractérisation de l'indépendance d'events, } A \text{ et } B \text{, via leur indicatrice}$
$A \text{ et } B \text{ indépendantes } \Longleftrightarrow \mathbb 1_A \text{ et } \mathbb 1_B \text{ sont indépendantes}$
7$\text{Proposition 6 : Lemme de coalition}$
$X \text{ et } Y \text{ indépendantes } \implies f(X) \text{ et } g(Y) \text{ indépendantes}$
8$\text{Proposition 7 : Propriété de la loin conjointe de } X = (X_1, ..., X_n)$
$\mathbb P_X \text{ est une probabilité entièrement déterminée par }$
$\forall (x_1, ..., x_n) \in X_1(\Omega) \times ... \times X_n(\Omega) \quad \mathbb P_X(\{(x_1, ..., x_n)\}) = \mathbb P(\bigcap_{k=1}^n (X_k = x_k))$
9$\text{Proposition 8 : Caractérisation de l'indépendance mutuelle d'une famille de VA}$
$X_1, ..., X_n \text{ sont mutuellement indépendantes } $
$ \Longleftrightarrow \forall (x_1, ..., x_n) \in X_1(\Omega) \times ... \times X_n(\Omega) \quad \mathbb P(\bigcap_{k=1}^n (X_k = x_k)) = \prod_{k=1}^n \mathbb P(X_k = x_k)$
10$\text{Proposition 9 : Caractérisation de l'indépendance mutuelle d'events } A \text{ via leur indicatrice}$
$A_1, ..., A_n \text{ mutuellement indépendantes } \Longleftrightarrow \mathbb 1_{A_1}, ..., \mathbb 1_{A_n} \text{ mutuellement indépendantes}$
11$\text{Proposition 10 : Lemme de coalition généralisé}$
$X = (X_i)_{i \in \llbracket 1, m \rrbracket} \cup Y = (Y_i)_{i \in \llbracket 1, n \rrbracket} \text{ mutuellement indépendantes }$
$ \implies f(X) \text{ et } g(Y) \text{ mutuellement indépendantes}$
12$\text{Théorème 1 : Lien entre loi de Bernoulli et loi binomiale}$
$\begin{cases} X_1 \sim \mathscr B(p) \\ X_2 \sim \mathscr B(p) \\ ... \\ X_n \sim \mathscr B(p) \\ X_1, ..., X_n \text{ indépendantes} \end{cases} \implies X = X_1 + X_2 + ... + X_n \sim \mathscr B(n, p)$
13$\text{Théorème 2 : Théorème de transfert}$
$\mathbb E(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \mathbb P(X = x)$
14$\text{Théorème 2 : Théorème de transfert, 2e version}$
$\mathbb E(f(X)) = \sum_{x \in X(\Omega)} f(x) \mathbb P(X = x)$
15$\text{Propriété 1.a: Espérance d'une constante}$
$\mathbb E(a) = a$
16$\text{Propriété 1.b: Espérance d'une indicatrice}$
$A \in \mathscr P(\Omega) \implies \mathbb E(\mathbb 1_A) = \mathbb P(A)$
17$\text{Propriété 1.c: Linéarité de l'espérance}$
$\mathbb E(aX+bY) = a \mathbb E(X) + b \mathbb E(Y)$
18$\text{Propriété 1.d: Croissance de l'espérance}$
$X \le Y \implies \mathbb E(X) \le \mathbb E(Y)$
19$\text{Proposition 11 : Espérance d'une variable aléatoire et d'une fonction indicatrice}$
$\mathbb E(X \mathbb 1_A) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \mathbb P((X = x) \cap A)$
20$\text{Proposition 12 : Formule de König-Huygens}$
$\mathbb V(X) = \mathbb E(X^2) - \mathbb E(X)^2$
21$\text{Proposition 13 : Variance d'une fonction affine}$
$\mathbb V(aX + b) = a^2 \mathbb V(X)$
22$\text{Corollaire 1 : Ecart-type d'une fonction affine}$
$\sigma_{aX+b} = |a| \sigma_X$
23$\text{Proposition 14 : Espérance d'une VAR suivant une loi uniforme}$
$X \sim \mathscr U(\llbracket a, b \rrbracket) \implies \mathbb E(X) = \dfrac{a+b}{2}$
24$\text{Proposition 15 : Espérance et variance d'une VAR suivant une loi de Bernoulli}$
$X \sim \mathscr B(p) \implies \begin{cases} \mathbb E(X) = p \\ \mathbb V(X) = p(1-p) \end{cases}$
25$\text{Proposition 16 : Espérance et variance d'une VAR suivant une loi binomiale}$
$X \sim \mathscr B(n, p) \implies \begin{cases} \mathbb E(X) = np \\ \mathbb V(X) = np(1-p) \end{cases}$
26$\text{Théorème 4 : Inégalité de Markov}$
$\forall X: \Omega \rightarrow \mathbb E^+ \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \mathbb P(X \ge \varepsilon) \le \dfrac{\mathbb E(X)}{\varepsilon}$
27$\text{Corollaire 2 : Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}$
$\forall X: \Omega \rightarrow \mathbb R^+ \quad \forall \varepsilon > 0 \quad \mathbb P(|X - \mathbb E(X)| \ge \varepsilon) \le \dfrac{\mathbb V(X)}{\varepsilon^2}$
28$\text{Proposition 17 : Équivalent de la formule de "König-Huygens" pour la covariance}$
$Cov(X, Y) = \mathbb E(XY) - \mathbb E(X) \mathbb E(Y)$
29$\text{Corollaire 3 : Caractérisation du fait que deux VAR soient non corrélées}$
$X \text{ et } Y \text{ non corrélées} \Longleftrightarrow \mathbb E(XY) = \mathbb E(X)\mathbb E(Y)$
30$\text{Proposition 18 : Lien entre VAR indépendantes et non corrélées}$
$X \text{ et } Y \text{ indépendantes} \implies X \text{ et } Y \text{ non corrélées}$
31$\text{Proposition 19 : Variance d'une somme de variables aléatoires}$
$\mathbb V(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n \mathbb V(X_i) + 2\sum_{1 \le i \le j\le n} Cov(X_i, X_j)$
32$\text{Corrolaire 5 : Variance d'une somme de variables aléatoires 2 à 2 non corrolées}$
$(X_1, ..., X_n) \text{ deux à deux non corrélées} \implies \mathbb V(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n \mathbb V(X_i)$
33$\text{Corrolaire 6 : Variance d'une somme de variables aléatoires 2 à 2 indépendantes}$
$(X_1, ..., X_n) \text{ deux à deux indépendantes} \implies \mathbb V(\sum_{i=1}^n X_i) = \sum_{i=1}^n \mathbb V(X_i)$